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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Les caractères des modules de formes et les 

 systèmes d'équations aux dérivées partielles. Note (^) de M. Maurice 

 Janet, présentée par M. Goursat. 



Je me suis proposé de rapprocher les résultats des théorèmes généraux 

 relatifs aux systèmes d'équations aux dérivées partielles de ceux qui ont été 

 obtenus par M. Cartan au sujet des systèmes d'équations de PfafT(-). J'in- 

 diquerai ici certaines propositions de nature algébrique, qui peuvent avoir 

 leur utilité propre, et j'en tirerai plusieurs conséquences relatives à la 

 théorie des systèmes d'équations aux dérivées partielles ; le parallélisme des 

 énoncés actuels et des énoncés de M. Cartan apparaîtra de lui-même. 



1. Soit un système quelconque donné de formes (F), d'ordre /?, 

 à n variables a?, , a?o, ..., x,^. Soit cr, le nombre dont augmente son rang (^?i\i 

 sens de la théorie des équations linéaires, les monômes d'ordre p étant 

 regardés comme autant de variables indépendantes) lorsqu'on lui adjoint 

 les produits d'une forme linéaire déterminée à coefficients arbitraires par 

 tous les monômes d'ordre yj — i. Soit de même (t, -t- CTo -f- ... H- ct/, le nombre 

 dont augmente son rang lorsqu'on lui adjoint les produits respectifs de 

 k formes linéaires déterminées à coefficients arbitraires par tous les 

 monômes d'ordre/) — i. Nous obtenons ainsi un système de n — i entiers(^) 

 bien déterminés 



attaché au système (F) d'une manière invariante dans un changement 

 linéaire homogène arbitraire des variables indépendantes. 



Soient (F') toutes les formes obtenues en multipliant une forme (F) par 

 une variable {x). Au système (F'), d'ordre /? -h i, sont attachés par la 

 définition précédente des nombres (j\, cr',, .. ., a-',^_j. On a la relation 



(0 a'i + a; + . ..+ !7;_i^o-i+ 2cr2 + . ..+ (rt — i) C7„_i. 



Désignons par (F") les formes déduites de (F') comme les (F') l'ont été 

 des (F), et par (a") les nombres attachés aux (F"). 

 Si Végalité (i) a lieu, on a encore Végalité 



o-'l -+- 0-2 + . . . + (J"„^^ r= o-'i + 2 o-', + ...+ (/? — i) o-'„_i 



(') Séance du 6 février 19-22. 



("-) Annales scienUJic] lies de l'Ecole Normale, 1901 et 1904. 



C) Le iionibie o-„ ne pourrait être clifférenL de zéro que si toutes les formes (F) 

 étaient i<^lenti(j[uetnent nulles; nous excluons ce cas. 



