SÉANCE DU l3 lÉVRIËR I922. 4^^ 



et, par suite, 



(7'j'+ a';+. . . + o-™_, = cr';+ 2(7'; 4-. ..+ (« — 0^«-i — 



D'ailleurs, dans ce cas, les (t) sont donnés en fonction des (a) par les 

 formules 



(j\ =: (7i -4- O-o + . . . + C7„_, , 

 (7'., = . . . . (7o + . . . 4- a„_i, 



Les (a") se déduisent des (ct') par les mêmes formules, etc. 



Le nombre des conditions indépendantes auxquelles on doit assujettir une 

 forme d'ordre V^p pour qu elle fasse partie du module défini par les (F) est 



ou encore 



P_n + I (P— /J + I P— /> + 2) 



(7i + (7., H O-^i ^ h - . . 



' - I 1.2 



(P-/? + i)(P— y9 + 2)...(P-/j + n— 2) 

 "^ """-^ 1.2. ..(«-2) 



' ^ I ^ 1.2 



). (P-/>->- + l)...(P-/>->. + /^ + 2) 

 ."^^"-1 1.2... (« — 2) 



Ce polynôme en P est la fonction caractéristique d'Hilbert par le module (F). 

 On voit son lien avec les systèmes de nombres [ct'/', o-'^', ..., a'^'ij qu'on 

 pourrait appeler les caractères du module relativement à l'ordre 



/? + X (X = o, 1,2, . . .). 



2. Étant donné un système quelconque de formes ($), 0/2 /j^'/// toujours 

 trouver un entier yo„ Z^/ ^wé' le système des formes d'ordre donné p (/> quel- 

 conque i^/)o) qui font partie du module défini par les ($) ait précisément la 

 prop?-iété des (F) supposée au n" 1 [égalité (i)]. 



3. Considérons les formes d'ordre inférieur ou égal à p du module ($); 

 dans ces formes, substituons à chaque monôme la dérivée correspondante 

 d'MA?e fonction inconnue w; égalons à zéro les expressions obtenues. Pour 

 déterminer entièrement une solution régulière quelconque de ce système 

 d'équations aux dérivées partielles, on pourra se donner les valeurs en un 

 pointO de a- dérivées de u d'ordre inférieur àjo; et,.v«/' certaines multiplicités 

 linéaires arbitraires issues de O et se comprenant les unes les autres, de cer- 



