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taines dérivées (F ordre p de z/ : 



o-j dérivées fonctions arbitraires (régulières) de l variable 

 CT, » » » » ^ variables 



. , )) » » ». )) 



On pourrait d'ailletirs tout aussi bien se donner les valeurs en O de 



a + Igi 4- 1rs\ + . . . 4- lo-'/'-'J (dérivées d'ordre </> + \) 



et, .y//r certaines multiplicités linéaires arbitraires issues de O ^; se comprenant 

 les unes les autres^ de 



c'/' dérivées fonctions arbitraires de i variable 

 (tL'' » » » 2 variables 



Chacune des déterminations ainsi obtenues est de forme invariante dans 

 un changement linéaire homogène arbitraire des variables indépendantes. 

 Setil, il est vrai, le dernier des a qui n'est pas nul est égal au a', i" , ... de 

 même indice; les a d'indices inférieurs ont pourtant eux aussi une significa- 

 tion effectivement intéressante en ce qui concerne le degré de généralité de 

 la solution : ils sont, d'après ce qui précède, invariants dans un changement 

 linéaire arbitraire des variables. 



De plus, si le système envisagé est susceptible de se mettre par simple 

 combinaison linéaire sous une quelconque des formes canoniques clas- 

 siques, et si, ce ([ue l'on peut alors toujours faire, on se donne arbitrai- 

 rement en un point les valeurs des dérivées paramétriques d'ordre inférieur 

 à /) -4- X et les valeurs sur certaines multiplicités linéaires (spécifiées par les 

 théorèmes d'existence) des dérivées paramétriques d'ordre /? -t- A, les 

 nombres respectifs de fonctions arbitraires de i, 2., . . ., /? — i variables sont 

 encore les nombres précédemment trouvés t^^ a-','', . . ., T^'i, . 



4. Un système quelconque d'équations aux dérivées partielles à une 

 fonction inconnue u étant donné, on sait que le degré de généralité de la 

 solution est déterminé par la connaissance d'un certain modulç de formes 

 algébriques, le module des formes caractéristiques des équations du sys- 

 tème. On voit dès lors que la solution d'un système quelconque pourra 

 être déterminée sous la forme invariante qui vient d'être indiquée pour les 

 systèmes étudiés au numéro précédent, 



