SÉANCE DU l3 FÉVRIER ig22. 435 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un point fondamenUil de la théorie 

 du potentiel. Note de M. Witold AVilkosz, présentée par M. Goursat. 



Dans la théorie classique du potentiel, c'est-à-dire dans celle des inté- 

 grales d'une équation aux dérivées partielles de la forme 



n 



on ne se borne pas à admettre qu'en tout point intérieur au domaine que 

 l'on considère, la fonction est continue et qu'elle vérifie l'équation (i) ; pour 

 légitimer les opérations que l'on a à effectuer, on adopte toujours quelque 

 hypothèse additionnelle relative aux dérivées 



, \ d-u 



(2) -^ (« = i, 2, ..., «); 



on suppose le plus souvent que ces dérivées soient continues. 



Je vais démontrer que toute hypothèse additionnelle de ce genre est 

 superflue. A cet effet, supposons que la fonction u des variables x^^ . . . ^ x„ 

 soit définie sans ambiguïté à l'intérieur d'un certain domaine (D) et 

 bornons-nous à. admettre qu'en tout point, intérieur à ce domaine, elle 

 satisfasse seulement aux conditions suivantes : 



1° Elle est continue; 



2° Chacune des dérivées (2) a une valeur finie et bien déterminée; 



y^ L'équation (i) est vérifiée. 



Je dis que, dans ces conditions, la fonction u sera régulièrement analy- 

 tique dans le voisinage de tout point intérieur au domaine (D). Pour 

 le démontrer, mettons en évidence les arguments de la fonction u en 

 posant 



et considérons l'expression 



n 



(3) M^u,h)^'^ j-, 



On doit à M. Peano la forme suivante du théorème de Taylor : « Soit o (a?) 

 une fonction de x définie sans ambiguïté pour les valeurs de x vérifiant 



