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Finégalité 



(4) |^-al<r 



et admettant pour ces valeurs de x des dérivées déterminées jusqu'à un 

 certain ordre/) inclusivement; sans supposer que la dérivée 9'^''*"'H-'z^) existe 

 pour toutes les valeurs de x vérifiant (4), admettons l'existence de cette 

 dérivée pour a? = «; dans ces conditions, on a 



avec 



lim£( A) = o. » 



En s'appuyanl sur ce théorème pour p = i, on déduit de (3) et de l'exis- 

 tence des dérivées (2) qu'en tout point intérieur au domaine ( D ), on a 



n 

 i 



Donc, lorsque l'équation (i) est vérifiée à l'intérieur du domaine D, on a 



lim A(«, /? ) = 0, 



h=o 



en tout point intérieur à ce domaine. 



Or M. Zarcmba (/) a démontré que cela suffît pour assurer l'analyticité 

 régulière de la fonction u dans le voisinage de tout point intérieur au 

 domaine ( D ). Il est donc prouvé que les trois conditions énoncées plus haut 

 fournissent bien une base suffisante à toute la théorie du potentiel. On pour- 

 rait se demander si la première des trois conditions précédentes n'est pas 

 superflue. Il est aisé de prouver qu'elle est au contraire essentielle. Posons 



pour cela (-) : 



1^ 



u =: partie réelle de e '^ pour a; ^ o, 

 w = o pour a: z^ o 



ou 



(') S. Zaremba, Contribution à la théorie d'une érjuation fonctionnelle de la Phy- 

 sique {Rendic. di Palernio, l. 19, igoS, p. il\']). 



(2) L'exemple que je cite m'a été indiqué par M, Zaremba. 



