SÉANCE DU l3 FÉVRIER I922. 4^7 



La fonction u est discontinue pour x ^= y — o et cependant j— 7 et ■— , 



sont partout (même pour x = y = o) bien déterminées et elles vérifient la 



condition 



d- a 0- Il 



dans tout le plan des variables x et y. 



GÉOMÉTRIE. —Sur une définition géométrique du tenseur d'énergie d^ Einstein. 

 Note de M. E. Cartan, présentée par M. Emile Borcl. 



On sait que, dans la théorie de la relativité généralisée d^Einslein, le 

 tenseur qui caractérise complètement l'état de la matière au voisinage d'un 

 point d'Univers est identifié à un tenseur faisant intervenir uni([ueinent les 

 propriétés géométriques de l'inivers au voisinage de ce point. Les dix com- 

 posantes de ce tenseur sont données par des calculs plus ou moins compli- 

 ({ués qui sont loin d'en faire voir Fessence géométrique. Il m'a semblé qu'il 

 y aurait intérêt à donner de ce tenseur une définition qui, tout en ayant 

 toute la précision voulue, pût s'exprimer en langage purement géomé- 

 trique. 



L Avant d'aborder le cas d'un LInivers à quatre dimensions, considérons 

 le cas beaucoup plus simple d'un Univers statique à trois dimensions, c'est- 

 à-dire d'un milieu matériel continu en équilibre sous la seule action de ses 

 forces élastiques. Un tel milieu est caractérisé physiquement par son état 

 de tension, c'est-à-dire en somme par un vecteur appliqué à un élément de 

 surface orienté arbitraire du milieu et indiquant la résultante des actions 

 exercées à travers cet élément de surface par la partie du milieu située du 

 côté négatif de cet élément sur la partie du milieu située du côté positif. 

 En définitive, l'état du milieu est défini par un vecteur attaché à chaque 

 élément de surface orienté de l'espace, vecteur dont les composantes sont 

 des éléments d'intégrales de surface. Les composantes satisfont, comme 

 on sait, à la loi de symétrie; de plus, la résultante des vecteurs attachés 

 aux différents éléments de surface qui limitent un volume donné est nulle 

 (loi de conservation). 



Considérons alors un espace de Riemann à trois dimensions, défini par 

 un ds- donné, forme différentielle quadratique de trois variables; Vétat de 

 courbure de cet espace, c'est-à-dire ce qui le différencie plus ou moins d'un 



