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espace euclidien, peut se caractériser exactement de la même manière que 

 l'état de tension d'un milieu élastique en équilibre. Si Ton décrit en effet un 

 contour fermé infiniment petit, la divergence entre l'espace considéré et 

 l'espace euclidien se manifeste sur ce contour par le fait qu'un système de trois 

 directions rectangulaires issues d'un point du contour et transportées joora/- 

 lèlement à elles-mêmes au sens de Levi-Civita (^) ne revient pas coïncider 

 avec lui-même lorsqu'on a parcouru, tout le contour fermé; il faut, pour 

 retrouver le système initial, effectuer une certaine rotation (infiniment 

 petite). Cette rotation peut se représenter par un vecteur. L'état de diver- 

 gence entre l'espace donné et l'espace euclidien peut donc être traduit par 

 un vecteur attaché à chaque élément de surface orienté de l'espace. On 

 montre facilement que ce vecteur, dont les composantes sont des éléments 

 d'intégrale de surface, satisfait à la loi de symétrie et à la loi de conser- 

 vation (la somme géométrique des vecteurs attachés aux éléments de surface 

 qui limitent un volume infiniment petit est nulle). 



Il résulte de ce qui précède qu'on" peut expliquer l'état d'un milieu élas- 

 tique en équilibre en admettant que l'espace qui le contient est déformé et 

 que l'état de tension du milieu traduit physiquement cette déformation 

 géométrique. Un fluide parfait en équilibre (et par suite de pression cons- 

 tante) correspondrait à un espace non euclidien de courbure constante, le 

 vecteur qui manifeste la courbure de chaque élément de surface étant 

 normal à cet élément. 



II. J'arrive maintenant à l'Univers d'Einstein. La généralisation va être 

 facile si nous définissons l'état physique de l'Univers par un vecteur 

 (à quatre composantes) attaché à chaque élément de volume (à trois dimen- 

 sions) de l'Univers et satisfaisant à la loi de symétrie : les i6 coefficients, 

 qui se réduisent à lo à cause de la loi de symétrie, peuvent être, comme on 

 le fait d'habitude, regardés comme les coefficients d'une forme quadratique 

 à quatre variables, de même que les 9 coefficients /?^^, p^y, etc. qui se 

 réduisent à 6, du vecteur qui définit la tension d'un milieu élastique, peuvent 

 être regardés comme les coefficients d'une forme quadratique à trois 

 variables. 



Partons alors d'un ds^ donné, forme différentielle quadratique à quatre 

 variables. La différence entre l'Univers défini par ce ds^ et l'Univers eucli- 

 dien se manifeste sur tout contour fermé infiniment petit par le fait qu'un 

 système de quatre directions issues d'un point du contour et transporté 



(') Rend. Cire. Mat. di Palertno, l. 42, p. 173. 



