44o ACADÉMIE DES SCIEInCES. 



Lorsque b est nul, le développement en fraction continue du rapport — 



permet de trouver des solutions de plus en plus approchées de l'équation 

 donnée; mais, si 6 ^ o, il n'en est plus de même, car nous ne connaissons 

 pas de méthode générale et systématique de résolution de (i); le procédé 

 indiqué par Lejeune-Dirichlet et perfectionné par Minkowski devient en 

 pratique rapidement inapplicable. 



11 serait pourtant très utile de posséder un moyen de résolution de (i) car 

 des problèmes de ce genre se posent assez fréquemment dans les recherches 

 scientifiques; si, par exemple, en physique, on connaît la partie décimale a 

 d'une longueur représentant un multiple entier inconnu X d'une longueur 

 d'onde donnée A, on aura à résoudre l'équation du type (i) 



En prenant «^ et «, comme éléments initiaux et en développant en frac- 

 tion continue suivant la méthode ordinaire, on obtient la suite des éléments 



«0, «1, a,, «3, ..-, ^«-1, ««, cin+i (lima„=:o). 



11 serait très avantageux de pouvoir modifier la loi de formation de cette 

 suite, de manière que certains éléments continuent à tendre vers zéro, tandis 

 que d'autres ont une autre limite, h par exemple; car, dans ce cas, la solu- 

 tion de (i) serait immédiate, puisque tout élément s'exprime avec des 

 coefficients entiers en fonction linéaire des deux éléments initiaux. 



Or, il est aisé de montrer qu'on peut faire tendre «3,, vers un nombre 

 donné u.,^ pouvant varier avec /z, les autres éléments ayant zéro pour limite. 



Ecrivons en eil'et les équations successives de formation des éléments : 



^hl — i^^^ ^-31' ^3/ ^3i + lî 



^^3' = ^-S'+l ^'3/-l-l '''a/+2î 



^3i+l ^— '•31+2 ^-ii+i ^3'-4-3' 



Dans la première, a3,_, et a^i^, tendent vers zéro, tandis que' a.;, tend 

 vers u.,; il en résulte qu'on devra prendre à partir d'un certain rang À;,/= o 



Dans la seconde, on procédera à la manière ordinaire et a.^j^., sera le 

 reste, changé de signe, de la division de «3, par «.,/+., ; le quotient A^/^., 

 augmentera indéfiniment et l'on aura 



< - OU < -î— 



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