ACADÉMIE DES SCIENCES 



SÉANCE DU LUNDI 20 FÉVRIER 1922. 



PRÉSIDENCE DE M. Emile BERTIN. 



MEMOIRES ET COMMUNICATIOIVS 



DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions d'une variable réelle 

 indéfiniment dérivahles. Note de M. Emile Borel. 



Il résulte du théorème de M. Denjoy, démontré d'une manière complète 

 par M. Carleman, que si /(a;) est une fonction de variable réelle indéfi- 

 niment dérivable et non identiquement nulle dans un intervalle, cette 

 fonction et toutes ses dérivées s'annulant en un point de l'intervalle et si 

 Ton désigne par M',^ le maximum de la valeur absolue de la dérivée d'ordre n 

 dans l'intervalle, la série 



est convergente. 



Considérons toutes les fonctions ./(.<?) indéfiniment dérivables pour 

 o^aj^i et telles que l'on ait 



/(o)--/'(o)=...=/<«)(o)=...r=o, /(i) = i. 



Pour toutes ces fonctions, la série cr est convergente; Userait intéressant de 

 déterminer la plus grande limite des sommes i. Une des voies que l'on 

 pourrait suivre pour obtenir ce résultat est la suivante. Supposons que, 

 la fonctiony*(a7) admettant des dérivées continues jusqu'à l'ordre n inclusi- 

 vement, on ait 



/(0)=/'(0)=r=...=r/«(0)=0, /(l) = I. 



Les sommes 



_ I I I I 



C. R., 1922, I" Semestre. (T. 174, N» 8.) ^9 



