SÉANCE DU 20 FÉVRIER 1922. Si'] 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Les équations fonctionnelles et In représentation 

 conforme. Note de M. Gastox Julia. 



1. Les progrès réalisés à la suite de l'introduction des fonctions modu- 

 laires et fuclisiennes en Analyse, notamment par la représentation paramé- 

 trique des courbes algébriques et l'uniformisation des fonctions multiformes, 

 ont conduit la représentation conforme à un développement tel qu'il est 

 possible de la faire servir à la démonstration de ihéorèmes d'existence 

 variés. 



Il faut, pour cela, prouver directement que, par exemple, toute surface de 

 Riemann simplement connexe est représentable conformément sur un cercle 

 ou sur un plan pointé ou sur un plan fermé. Ce résultat acquis permet 

 ensuite d'établir à la fois l'existence des fonctions fuchsiennes, des groupes 

 correspondants et la représentation paramétrique des courbes algébriques 

 (une marche analogue donne les fonctions kleinéennes). 



Les fonctions fuchsiennes satisfont à des équations fonctionnelles du type 



^ (y z -t- 3 



/[S( r- )] =y"(5 ) ou vS(2)= f^ — '-• La méthode qu'on vient de ra[)peler 



consiste à déterminer, a priori^ \e domaine des valeurs D(Z) que prend 

 7j=: f{z) dans son domaine d'existence d{z), d'où l'on déduit d par une 

 représentation conforme. Ce domaine D est une surface de Riemann à une 

 infinité de feuillets, composée d'une infinité de surfaces de Riemann algé- 

 briques identiques, empilées, et réunies par des lignes de croisement super- 

 posées, judicieusement choisies. R est possible de faire correspondre à un 

 point Z qui décrit D un point Z, , toujours projeté sur Z, qui décrive aussi D 

 de façon que Z,{Z) et Z(Z,) soient des fonctions uniformes analytiques 

 sur D. La représentation, par Z ^=f{z ), de D sur un cercle ou sur un plan, 

 pointé ou non, fera correspondre à Z et Z, des points z- et s, liés par une 

 relation linéaire z^ = 'S{z)]f['6(z)] = f(z). On a ainsi un groupe fuchsien 

 correspondant à ce qu'on peut appeler le i^roupe des transformations uni- 

 formes de D en elle-même, par superposition. 



2. Ce qui précède indique l'avantage qu'il y a à déterminer d'abord le 

 domaine des valeurs D(Z), d'une fonction Z =fÇz) satisfaisant à certaines 

 conditions, c'est-à-dire à déterminer le domaine d'existence de la fonction 

 inverse z = o{Z). Ayant examiné dans cet esprit un certain nombre 

 d'équations fonctionnelles étudiées jusqu'ici par des méthodes variées, j'ai 

 été conduit à rattacher leur solution à un principe commun assez analogue 



