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à celui que j'ai exposé ci-dessus. Il s'agit de déterminer une fonction 

 ^ =/(-) satisfaisant à une relation F[f(z), fiS(z))] = o, z^ = S(c) étant 

 une certaine substitution linéaire àonnèe^*), on à déterminer, etF(Z, Z,) = o 

 une relation donnée. On déterminera une surface de Riemann D(Z) sur 

 laquelle la relation F(Z,Z,) = o définisse une correspondance (Z|Z,) qui 

 soit analytique, et biunivoquc, qui soit invariante par la transformation 

 Z,(Z) ainsi définie et par son inverse. On choisira D(Z) aussi étendue que 

 possible et, par la représentation conforme Z =f(z-) de D(Z) sur d(z)j on 

 aura/(5) dans le domaine d'existence d(z). J'appliquerai cette méthode 

 aux équations 



/(..-) = R[/(:;)]; /(.- + a) = R[/( c) ] ; f[R,{z)] = i\,[f{z)]. 



Puis, modifiant un peu l'idée précédente ("), je montrerai qu'on en peut 

 tirer des transcendantes étudiées par M. Picard et montrer d'une façon 

 intuitive leur grande variété ; enfin on obtiendra des transcendantes 

 nouvelles. 



3. Voici comment se traite l'équation 



f{sz):=î{[f{z)] [R, rationnelle]. 

 On suppose que 



R(o)=o, |R'(o) = .s|>i, 



et l'on cherche les solutions régulières à l'origine. Dans le plan Z, soit C^ 

 un cercle assez petit de centre O, (C„) l'aire qu'il enclôt. La forme circulaire 

 n'est utile que pour la simplicité de l'exposition. 



Lorsque Z décrit (Co), Z, = R(Z) décrit une aire (C, ) contenant (Gq), 

 Zo = R(Z,) décrit (Cj) contenant (G,), etc. On a une suite d'aires (G,) 

 [ itérées de (Go)] dont chacune contient toutes les précédentes : A partir d'un 

 certain moment, ce sont des surfaces de Riemann simplement connexes dont 

 le nombre de feuillets augmente indéfiniment, le passage de (G„) à (G„+,) 

 se faisant toujours par prolongement analytique à partir de (G„). 



Soit 2 la surface de Riemann simplement connexe, limite de G„ pour 

 71 = 00, et Z^f(z) la fonction qui la représente conformément sur un 

 cercle du plan z, ou sur le plan z, pointé à l'infini, et, pour préciser, telle que 



(') S(c) pourra n'être pas linéaire; alors le domaine d'existence de /(;) sera lui- 

 même une surface de Riemann, invariante par ^i = S(5), el J'{z) sera multiforme en 

 général, 



(-) En s'inspirant de la notion de groupe kleinéen (du tvpe Schottky), au lieu de 

 la notion de groupe fuchsien à cercle fondamental. 



