SÉANCE DU 20 FÉVRIER 1922. DIQ 



f(o) = o,/'(o) = I. Il résulte des théorèmes généraux de la représentation 

 conforme que f(z) est la limite, dans tout son domaine d'existence, de 9rt(^), 

 telle que 9,4(0) = o, 9l(o) = i, qui fournit la représentation conforme de 

 (C,j) sur un cercle (y,j) de centre O du plan z. On a, évidemment, 



avec 



yo=Co et y„^i=(.s|y„. 



Les cercles y,j grandissent indéfiniment. Donc H est représentable sur le plan 

 pointé (à l'infini) par Z =^f(^z), qui sera une fonction méroinorphe dans 

 tout le plan z (sauf l'infini). Sur S, Z, = R(Z) transforme d'une façon biuni- 

 voque (C„) en (C,^^.,), le point O, du premier feuillet, étant le seul point 

 double : Z, = R(Z) constitue une transformation biuiiivoque de I (') en 

 elle-même avec comme seul point double O, à distance finie. A deux points 

 correspondants Z et Z, de S, sont associés z et z^ par Z = f(^z), Z, =f{z^) 

 et la correspondance (s | :;, ) est une transformation biunivoque et analytique 

 du plan pointé en lui-même avec s = o et 2 ^ oc pour points doubles : c'esl 

 justement z^ = sz. f(z) est la fonction fondamentale satisfaisant à 



f{sz) = }\[/{z)]. 



On aurait obtenu toutes les solutions de cette équation (régulières en O) en 

 partant d'un élément circulaire de surface de Riemaun (C^) possédant en O 

 un point de ramification d'ordre quelconque. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le raccordement des lignes et la courbe 

 élastique plane. Note de M. Georges J. Kémou.vdos, présentée par 

 M. Hadamard. 



1. Tout récemment (^ ) M. P. Appell a publié une Xote importante dans 

 laquelle il cherche la courbe la plus avantageuse, au point de vue de la 

 courbure et de la longueur, qui soit tangente à deux droites données 



(') i est uti exemple simple de surface de Riemann transcendante, admettant un 

 groupe infini de transformations analytiques et biunivoques en elle-même; ZiZ=:R(Z), 

 non biunivoque dans le plan Z, le devient sur ^. 



(-) P. Appell, Courbe de raccordement et élastique plane {Bull, de la Soc. math, 

 de France, t, 49, 1921, fasc. I et II). 



