520 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



D, et D^ en deux points donnés ]VI,(^,, j,), M.j,(x.,, y.-,) sans avoir de 

 points singuliers, 



M. Appell, en appliquant une méthode qui rend minimum la courbure 

 moyenne et conserve la longueur, a abouti à la conclusion que la courbe 

 cherchée doit être une élastique plane. 



Or, le fait que la courbure moyenne est rendue mininium n'est pas tout 

 à fait satisfaisant pour le but du problème (qui intéresse surtout les 

 ingénieurs), puisque cela n'empêche pas que, sur l'arc M, Mo, la plus 

 grande courbure soit trop grande. Il serait donc nécessaire de compléter 

 à ce point de vue le résultat important de l'éminent géomètre en rendant 

 aussi minimum la plus grande courbure. 



Cette idée se justifie d'autre part par le fait que l'équation différentielle 

 de l'ensemble des courbes élastiques planes est 



où 



ôc^^^cosc) — Isinc»), y = X sin r.) + Y cos w + 6, 



les «, h, (x> étant trois paramètres variables. 



L'intégration de l'équation ( i) donnera deux nouveaux paramètres c et c^ , 

 et, par conséquent, l'ensemble des courbes élastiques planes dépend de cinq 

 paramètres, tandis que le problème traité par M. Appell comporte quatre 

 conditions. Il reste donc un paramètre disponible, que l'on peut utiliser 

 pour le complément ci-dessus indicjué. Nous avons traité cela et le résultat 

 de nos recherches est le suivant : 



2. Soient X, et Xo les coeflicients angulaires des droites données D, et Do 

 et considérons la fonction elliptique />w correspondant aux invariants 



(. + ï)vî 



2C(,A' — C-) 



-^- .7 



soient (X,, Y,) et (X., Y.) les valeurs des X et Y correspondant aux 

 points donnés M, (a?,, 7,), M.^{x^_^ y,) et posons 





OÙ les nombres ::, et z... correspondent aux valeurs Y^ et Y. moyennant la 

 relation 



I r 3Yn 



