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on obtient la formule de l'aylor généralisée. 



'dli {i-- ty- d-ij 



•/„(^, ^')_ ->(/) + (i'— /) 



dt ' i dV- 



(|iii représente, en chaque pointu), le vecteur obtenu en déplaçant £,(/) 

 parallèlement à lui-même, an sens absolu, à partir du point (z'). ("eLte for- 

 mule se généralise aussi bien sur une variété d'ordre quelconque plongée 

 dans un espace d'ordre n. 



Les rotations d'un système orthogonal fonction d'un ou de plusieurs 

 paramètres, et les n — \ courbures d'une courbe, dans un espace rieman- 

 nien, ou même plus général (dans lequel les coefficients des formes de 

 Pfafffl^co, sont des intégrales curvilignes), s'obtiennent par les mêmes for- 

 mules qu'eu calcul ordinaire. 



('eci s'appli(|ue sans changement au\ cônes, en appelant « cône « toute 

 famille de vecteurs issus d'un point. Pour la détermination des courbures 

 d'un cône, les différentielles absolues coïncident avec les différentielles 

 ordinaires, car, dans l'expression 



dii— dij —2^ ''«P -/^ ^^'^^\''- 



les r/cop sont tous nuls. 



Cela revient à considérer un vecteur comme un élément géométrique, tel 

 qu'on le conçoit dans l'espace euclidien, plongé dans un espace euclidien 

 intinitésimal entourant son origiue M. Cet espace euclidien joue le rôle 

 d'espace épreuve grâce au(jael on explore l'espace étudié. 



(Juand M décrit une trajectoire quelconque de façon que tous les vec- 

 teurs issus de M restent parallèles à eux-mêmes, au sens absolu, cet espace 

 épreuve subit un simple déplacement sans déformation (par exemple, les 

 courbures d'un cône restent constantes). 



Un vecteur unité {Oj) étant donné, fonclion d'un point courant d'uu 

 espace !>„, appelons directions principales toutes les directions orlhogonales 

 à «„ le long desquelles la vitesse absolue de a, leur est parallèle. < >n 

 démontre facilement qu'il y en a au moins n — i, et que, t^i (a,) est normal 

 à une V,, _,, ces directions principales sojit orthogonales deux à deux; 

 si w, v^ (r, .,., sont les paramètres des lignes de courbure de la V,,_,. 

 if, r,,, C, • . -, les directions principales, on a les formules suivantes : 



Ou dv 



