SÉANCE DU 20 Fi;VRlER 1922. I)l3 



avec, pour la \ „_,, 



ds- =-■ do)l + d(j)'-, H- . . . -i- (ioj,-j zzz A-dfi- -+- li^di- -+- Q-di\- 4- ... ; 



A,, Xo, A3, ... sont les courbures principales, de signification géométrique 

 évidente, et l'on a encore le théorème d'Euler pour la courbure normale le 

 long d'une courbe quelconque (C) de la V„_,. 



L'expression Q. = V \-\f.{^i:^k), que j'appellerai courbure totale externe ^ 



est liée à la courbure totale (^ = —^"z'/l par la formule simple 



i, A- 



ikht 



OÙ les T'I^i sont les symboles de Riemann de E,j. 



On a le théorème : « Tous les espaces, dans lesquels les deux courbures 

 totales d'une V,j , quelconque sont égales, sont ceux dont les covariants 

 doubles de Kiemann 



a 



sont identiquement nuls. )> 



Pour ft = 3, un tel espace est euclidien. 



Comme conséquences du même calcul, on obtient les théorèmes de Dupin 

 généralisés, dans un espace d'ordre quelconque : 



i"" Si deux V,j_,, S et 1, sont orthogonales le long d'une courbe (F), 

 ligne de courbure de S, et si la normale de 2 est également direction prin- 

 cipale pour S, (F) est aussi ligne de courbure sur (I), et la normale de S 

 est direction principale pour 1; 



2.° Si un système de n familles de V„_, est /^-orthogonal, les sections de 

 ces variétés n ~ i k u — i sont lignes de courbure sur ces variétés. 



Si ces ligues de courbure sont de plus des géodésiques de E„, E„ est 

 euclidien. 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Correspondance ponctuelle entre deux 

 surfaces avec échange des réseaux conjugués en réseaux orthogonaux et 

 vice versa. Note de M. Bertrand Gaaibier, présentée par M. G. Kœnigs. 



1. On sait l'importance des trois formes quadratiques "îldx-, ^clcdx, 

 ^dc'- attachées à une surface S. 



