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J'ai déjà signalé que certaines surfaces S convenablement choisies 

 peuvent être mises en correspondance ponctuelle avec une autre surface S, 

 de façon que le rapport des deux premières formes S et S, et aussi le 

 rapport des deux dernières soient fonction uniquement de la position du 

 point M étudié et non de l'orientation de l'élément d'arc issu de M ; on a 

 vu qu'il peut se produire alors deux hypothèses distinctes dont l'une P,, 

 que nous retrouverons plus bas, signilie en langage ordinaire que les lignes 

 de longueur nulle d'une part, les asymptotiques d'autre part se con- 

 servent ( ' ). 



2. Un problèjue analogue consiste à déterminer les couples S, S, tels que 

 la correspondance ponctuelle transforme les ligues de longueur nulle en 

 asymptotiques et vice versa. Un réseau soit orthogonal, soit conjugué sur 

 l'ime des surfaces devient sur l'autre un réseau soit conjugué, soit ortho- 

 gonal; le réseau des lignes de courbure se conserve. Prenons ce réseau pour 

 réseau de coordonnées et formons le Tableau : 



Les fonctions a, c, R, R' sont liées par trois équations aux dérivées par- 

 tielles bien connues; de même a,, c,, R,, R, . Les conditions de notre pro- 

 blème reviennent aux deux équations complémentaires : 



R'_ F5, _fac, 

 K 1-5 'i \C(7] 



Le système ainsi formé serait d'étude directe assez pénible, mais il montre 

 immédiatement qu'à une surface S prise au hasard ne correspond en général 

 aucune surface S,; de plus, si diverses surfaces S, correspondent à une 

 surface S, ces surfaces S, sont entre elles en correspondance P, et l'étude 

 déjà faite pour P, nous donne ce résultat précis ({u'à une surface S solution 

 de notre problème actuel, autre toutefois qu'une sphère ou une surface 

 minima, correspond une surface S, dépendant au plus de deux paramètres 

 constants de forme (on néglige bien entendu une similitude). Si les surfaces 

 correspondantes sont réelles et en correspondance réelle, les lignes asymp- 

 totiques sont imaginaires de part et d'autre. 



(') Comptes rendus, l. J73, 1921, p. 760. 



