SÉANCE DU 20 FKVPiIER 1922. J2D 



3. Une solution presque banale s'obtient en prenant pour S une sphère : 

 on a simplement une représentation conforme de jdeux sphères Tune sur 

 l'autre. 



A une surface minima S correspond une surface minima quelconque S, : 

 le problème revient au fond dans ce cas à échanger entre elles les deux 

 formes dir -\- f/v- et dir — dv- et la solution est rvidente; mais les transfor- 

 mations ainsi obtenues font correspondre à une nappe léelle une nappe ima- 

 ginaire. 



On peut obtenir un couple formé soit de deux hélicoïdes, soit de deux 

 surfaces spirales, soit d'un liélicoïde ou d'une surface spirale. 



A une surface de révolution S quelconque correspond, par trois quadra- 

 tures, une surface S, aussi de révolution dépendant de "deux paramètres; 

 les méridiens se transforment en méridiens et les parallèles en ])arallèles. 



Si la surface S est de révolution et de plus est caractérisée par la rela- 

 tion R = mR', où m est constant et R désigne le rayon de courbure de la 

 méridienne, on trouve d'abord la solution qui vient d'être signalée, S, 



étant la surface de révolution caractérisée par R, = - R'j ; mais on trouve 



une solution nouvelle, spéciale à ce cas, qui est S elle-même : cette surface 

 possède en effet ce'- auto-correspondances du type actuel, où les méridiens 

 s'échangent avec les parallèles et inversement. 



4. J'indique rapidement, pour ces surfaces de révolution particulières, la 

 démonstration de ces propriétés qui reviennent d'ailleurs à des propriétés 

 de P, non signalées dans ma Note précédente. .le puis écrire, pour S, 



ch^'uildc-) == du'-+ dv-, 



ch- u{^ de dx) = {m r///"- 4- rA'*)R', 



ch'- a {Idx'-) = {m'-du'-^ di--')]V\ 



où R' est une fonction de // que je n'ai pas besoin d'expliciter. On voit 

 aussitôt que 



définissent oo- auto-correspondances P, de S. Sur la surface de révolution 

 S, (ttt = ^} en appelant ?/,, r,, R,, ?v\, ~ les éléments analogues à u, ç, 

 R, R', m de S, on voit aussitôt que les formules 



définissent oc- correspondances P, entre S et S,. 



