SÉANCE DU 27 FÉVRIER I922. 689 



li\-=h~^. Appelons Cl^' l'ensemble des points qui restent après exclusion 

 de ces cercles. Soit C» l'ensemble-limile de C^' lorsque / tend vers zéro. On 

 sait que C^^ comprend tous les points du plan sauf un ensemble de mesure 

 nulle, et que la série (i) convcrg^e partout dans Cg,. 



D'après les recherches de M. Borel, les points z = a., sont certainement 

 des véritables singularités pour la fonction y(^) si la suite |A„| décroît plus 

 rapidement que e~*" . Nous verrons dans ce qui suit qu'il suffît de supposer 

 I A„ |< e-^+^""''^" ( * ) , Dans sa Note ( - ) : Remarques sur la Note de M. J. Wolff, 

 M. Borel vient de poser d'une manière explicite la question dont nous nous 

 occuperons ici. La Note de M. Wolll' (-) contient un exemple intéressant 



de série de la forme (0 ( S _ ) avec ^ | A,, | convergente, qui converge 



en chaque point z :^ (x.,. /(z) étant, dans ce cas, uniformément bornée 

 pour z ^ y..,, on peut en conclure qu'il n'existe pas de série V r, à termes 

 positifs telle que "V — ' converge (cette condition est équivalente à V y'A., 

 divergente) • On peut, eu effet, démontrer que le terme " est le terme 

 dominant de (i) sur presque tous les vecteurs qui passent par a„, pourvu 

 qu'il existe une série à termes positifs convergente ^ r„ telle que V ~ con- 

 verge. On déduit de là : Si /"(s) est uniformément bornée sur un ensemble 

 de points obtenu par exclusion d'un ensemble de mesure nulle, tous les A,^ 



sont égaux a zéro. 



Nous allons démontrer le théorème suivant : 



Si /(z) s'annule sur un arc de courbe T {arbitrairement petit) situé dans 

 un domaine 0^\ et si 



I A„ I <; g- *+-'« lo"" (£ = nombre positif arbitraire), 



les coefficients A,, sont tous nuls. 



Soit OABO un contour simple fermé composé de deux lignes droites OA 

 et OB dans C^f' et d'une partie AB de F. On voit qu'il est toujours possible 

 d'enfermer un point quelconque C de C^'' dans un tel contour, pourvu 

 que r ne soit pas rectiligne et '( situé sur le prolongement de F. Partageons 

 la suite a,ao...a„... en deux groupes [3, ^o ... p,j..., YiT2---T«--- suivant 



(^) M. Denjoy a démontré dans une Communication récente {Comptes rendus, t. 174, 

 1922, p. gS) qu'il ne suffit pas de supposer | A„ | < e~^^'^~'' , 

 (^) Comptes rendus, t. 173, 1921, p. io56 et 1057. 



