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« Toute équation trinôme 



I H- ,3? + a J7'"=: o 



a au moins une racine dans un cercle ayant pour centre o et un rayon con- 

 stant (indépendant de a et de m). » 



Une démonstration de ce théorème très simple et purement algébrique a 

 été donnée par M. Hurwitz que M. Landau cite dans son travail ci-dessus 

 mentionné. Dans le même travail, il a démontré aussi que l'équation qua- 

 trinome 



(où I < ui <^ v) a au moins une racine dans un cercle de rayon constant et a 

 trouvé comme limite supérieure du rayon le nombre 8. 



En proposant la généralisation de ce théorème pour une équation /.-nome, 

 il dit qu'il ne possède pas en ce qui concerne l'équaition quatrinome une 

 démonstration algébrique simple telle que celle de M. Hurwitz pour l'équa- 

 tion trinôme, il réussit ce[)endant à abaisser la limite supérieure de 8 à 5|. 



2. Le manque d'une démonstration purement algébrique m'a été indiqué 

 par M. Georges Remoundos qui m'a proposé d'en chercher une. 



J'ai donc démontré d'une manière algébrique: 



a. La proposition suivante : 

 L'équation 



a au moins une racine dans un cercle de rayon constant (indépendant de «, 

 è, [j., v) et j'ai trouvé comme limite supérieure le nombre 8; 



b. J'ai fait la généralisation proposée par ^L Landau en démontrant que 

 toute équation de la forme 



dans laquelle les a,, «o, . . ., a,, sont quelconques et v ^ v,.>> v,_, >. . .v,^i 

 aussi quelconques, a au moins une racine dont le module ne dépasse pas un 

 nombre constant (indépendant de a, «,., . . ., ^/, et v, v,., . . .,v,, et dépendant 

 seulement du nombre des termes de l'équation). 



