SÉANCE DU 27 FKVRIER T922. 693 



GÉOMÉTRIE. — Sur une généralisatioTi de la notion de courbure de 

 Riemann et les espaces à torsion. Note de M. E. Cartax, présentée par 

 M. Emile Borel. 



Dans une Note récente ('), j'ai indiqué comment, dans un Univers 

 d'Einstein à ds- donné, on pouvait définir géométriquement le tenseur 

 d'énergie attaché à chaque élément de volume de cet Univers ; c'est ce tenseur 

 qui, égalé à zéro, donne les lois de, la gravitation dans toute région vide de 

 matière. La définition que j'ai donnée fait intervenir la courbure de l'Uni- 

 vers par une certaine rotation associée à tout contour fermé infiniment petit, 

 et cette rotation était introduite en s'appuyant sur la notion de transport 

 par parallélisme de Levi-Civita. 



Cette dernière notion elle-même, bien qu'elle se soit présentée à son 

 auteur par des considérations géométriques, est assez difficile à définir 

 d'une manière précise sans calcul. Or il est possible, me semble-t-il, d'en 

 montrer la signification profonde en généralisant la notion même d'espace; 

 cela nous conduira en même temps à des images géométriques d'Univers 

 matériels plus riches physiquement que notre Univers, au moins tel qu'on 

 le considère d'habitude; cela nous montrera aussi la vraie raison des 

 lois fondamentales auxquelles obéit le tenseur d'énergie (loi de symétrie, 

 loi de conservation). 



Bornons-nous au cas de trois dimensions, la généralisation à quatre 

 dimensions étant facile. Imaginons un espace qui, au voisinage immédiat de 

 chaque point, ait tous les caractères de l'espace euclidien. Les habitants de 

 cet espace sauront, par exemple, repérer les points infiniment voisins d'un 

 point A au moyen d'un trièdre trirectangle ayant ce point A pour origine ; 

 mais nous supposerons en outre qu'ils ont une loi leur permettant de repérer, 

 par rapport au trièdre d'origine A, tout trièdre de référence ayant son origine 

 A' voisine de A ; en particulier cela aura un sens pour eux de dire que deux 

 directions issues Tune de A, l'autre de A', sont parallèles. En définitive, un 

 tel espace sera défini par la loi de repérage mutuel (de nature euclidienne) de 

 deux trièdres d'origines infiniment voisines. 



Lin espace de la nature précédenle n' est pas complètement dé f ni par son ds- . 

 Le ds^, en effet, ne détermine qu'une partie de l'opération qui permet de 

 passer d'un trièdre d'origine A à un trièdre d'origine infiniment voi- 

 sine A', à savoir la translation AA'; il s'y ajoute, comme on sait, une 



(') Comptes rendus, t. ITV, 1922, p. 437. 



