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rotation qui, le ds^ étant donné, peut encore être définie suivant une 

 loi arbitraire. 



Cela posé, quand on décrira un contour fermé infiniment petit partant 

 d'un point A et y revenant, la divergence entre l'espace considéré et l'es- 

 pace euclidien se manifestera de la façon suivante. Attachons à chaque 

 point M du contour un trièdre de référence ; pour passer du trièdre attaché 

 à M au trièdre attaché au point infiniment voisin M', il faut effectuer une 

 translation et une rotation infiniment petites dont on connaît les compo- 

 santes par rapport au trièdre mobile d'origine M. Imaginons alors que 

 cette suite de déplacements infiniment petits soit effectuée dans un espace 

 euclidien en partant d'un trièdre initial choisi d'une manière quelconque. 

 Lorsque le point M de l'espace non euclidien partira de A et y reviendra 

 après avoir décrit le contour fermé, on ne retrouvera pas dans l'espace eucli- 

 dien le trièdre initial, mais il faudra, pour l'obtenir, efTectuer un déplace- 

 ment complémentaire dont les composantes seront bien définies par rapport 

 au trièdre initial. Ce déplacement complémentaire est du reste indépendant 

 de la loi suivant laquelle on a attaché un trièdre à chaque point M du 

 contour. 



En définitive, à tout contour fermé infiniment petit de l'espace donné sont 

 associées une translation et une rotation infiniment petites (de l'ordre de 

 grandeur de l'aire limitée par ce contour) et qui manifestent la divergence 

 entre cet espace et l'espace euclidien. La rotation peut être représentée par 

 un vecteur d'origine A et la translation par un couple. On peut alors 

 démontrer la loi de conservation suivante : Si l'on considère un volume inti- 

 ment petit, les rwcteurs et les couples associés aux différents éléments de sur- 

 face qui limitent le volume se font équilibre. 



On a ainsi une image géométrique d'un milieu matériel continu en équi- 

 libre sous la seule action de ses forces élastiques, mais dans le cas où ces 

 forces se manifesteraient sur chaque élément de surface, non seulement par 

 une force unique (tension ou pression), mais par un couple (torsion). 



Revenons maintenant au cas où Ton se donne simplement un ds'. Un 

 calcul facile montre que, parmi toutes les lois de repérage mutuel de deux 

 trièdres d'origines infiniment voisines compatibles avec le ds'- donné, il y 

 en a une et une seule pour laquelle la translation associée .à un contour fermé 

 infiniment petit quelconque est nulle. C'est cette loi qui conduit à la notion 

 de déplacement par parallélisme de Levi-Civita. Si on l'adopte, le couple 

 dont il est question plus haut disparaît, et c'est la raison pour laquelle le ten- 

 seur élastique satisfait à la loi de symétrie. 



Dans le cas général où il y a une translation associée à tout contour fermé 



