SÉANCE DU 6 MARS l<^22. 653 



CORRESPOIVD AIVCE . 



AXALYSE MATHÉMATIQUE. ^ Nouvelles applications de la représentation 

 conforme aux équations fojiclinnne Iles. Note de M. Gaston Julia. 



l. Lorsque la substitution Z,n=U(Z) a un point double indifférent a, 

 tel que a = Pi (y.), R'(a) = i [R"(a)^o pour siuiplifier], on peut sup- 

 poser a à rinfini et les axes tels que Z, = Z -f- r/ + p(Z), a étant positif 

 et p(Z) fonction rationnelle de Z, nulle à l'infini. L'existence d'une fonction 

 méromorphe /(^ ) vérifiant /(s -h «)= R[ /'(^)] peut s'établir par la 

 méthode indiquée dans ma précédente ISote (' ). 



L'étude locale de l'itération au voisinage d'un point double indifférent 

 prouve que l'on peut déterminer un demi-plan (P„) |R(Z) = a], tel que, 

 Z décrivant (Po), Z, décrive une aire (P, ) contenant (Po) à son inté- 

 rieur (-). De proche en proche on définira les aires (Pa), (P3), ... par 

 prolongement analytique, telles que Z décrivant (P„), Z, = R(Z) décrive 

 (P„^.,), chacune de ces aires contenant toutes les précédentes. Lorsque 

 n grandit, ces aires deviennent des surfaces de Riemann simplement con- 

 nexes dont le nombre de feuillets devient infini avec n et qui recouvrent 

 tout le plan. Soit }il la limite de (P„) pour n —^•. c'est une surface de 

 Riemann simplement connexe. Essayons de la représenter sur un cercle ou 

 un plan pointé. Choisissons un point fixe w sur Z, par exemple dans (Pq) 

 sur le premier feuillet. Comme cercle (ou demi plan) de représentation, 

 nous pouvons toujours choisir -ûj, | R( g ) = aj, identique à P^, et comme 

 point correspondant à w, nous choisissons co lui-même. Si l'on convient 

 qu'au point à l'infini sur l'axe réel négatif de z doit correspondre le point à 

 l'infini sur l'axe réel négatif du premier feuillet de 1, la fonction Z = 9(2) 

 qui fournit la représentation est parfaitement définie, si elle existe. Et 

 c'est la limite uniformément atteinte dans û^, de la famille (^) des 



(') Comptes rendus, t. 17i, 19^2, p. 017. 



(^) Si a était à distance finie, Fq serait un cercle Cq passant par a, non tangent à 

 une direction privilégiée, issue de a, et de rayon assez petit. Laire (C,) itérée de (Cq) 

 contiendrait (G^) et son contour C, serait langent à (]„ en a. 



(^) 9rt(^) fournit la représentation de (l*„) sur 7:0. 



