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les substitutions S„(^) == a„^ 4- ^,j conservant le demi-plan ti,,, et étant 

 telles que S,, (co) = (^i_„, antécédent d'ordre n de co [w = R,j(to_„)], antécé- 

 dent intérieur à tc^ et tendant vers l'infini, lorsque /i =3o; alors o„(co) = w. 

 Mais on reconnaît que '^\\iû) devient infini avec n, et ce critérium d'impos- 

 sibilité prouve que S n'est pas représenlable sur un demi-plan (ou cercle), 

 mais doit l'être sur un plan pointé. Pour obtenir cette représentation, on 

 peut considérer la suite 



Mz)^-z., f,{z) = l\[Mz + li,)]=S\{z + h,), ..., Mz)^{K,[z + h,,^, 



en posant h„ = w_„ - w. Alors /„(co)= w. Les/;^(to) = Rl(^-«) = w \ s 

 forment cette fois une suite qui converge vers une limite finie (') et :^ o. 

 Ov fJ^{z) représente (P,j) sur le demi-plan 



7r„ [A{z.)_y. — A{lin) = a + .'R((,j — w_„) = a„], 



et t:,j a pour limite le plan :; (pointé à l'infini). La fonction méromorphe 

 Z=^/(^z) représentaîit ^ sur le plan pointé z, [y(co) = co] sera la limite 

 de /,i(z) dans tout domaine fini. 



Suri, Z, — R(Z) définit urte transformation analytique biunivoque sans 

 autre point double que le point a du premier feuillet (a est à l'infini). C'est un 

 pointy>-o/i//er^ de H. A deux points bomologues Z et Z, de Z correspondent, 

 par Z = f(z) et Z, =::/(3, ), deux points :; et :;, du plan pointé; z^(z) est 

 une transformation biunivoque et analytique du plan pointé en lui-même, 

 l'infini étant seul point double : c'est justement ^, = ^ -i- « et Ton a bien 



J\z + a) = n[J\z)]. 



2. Si l'on considère maintenant G[R,(Z)] = RJGlZ)), R, et R^ étant 

 deux fractions rationnelles et G une fonction à déterminer, bolomorphe 

 au voisinage d'un point double o, répulsif (- ) de 



[Z|R.(Z)], [R,(o) = o, lR',(o)=5,|>i], 

 telle, pour simplifier, que 



G(o)=o, G'(o) = i [o = R,(o), R;(o)=r5,], 



la méthode utilisée ici conduit : i° à prendre autour de o dans le plan Z 



(M On le voit par une évaluation assez grossière de &j„„„ ^ R_„('jj), montrant 



que tend vers — i pour n = ce. 



na ^ 



(^) Ceci ne restreint pas la généralité. 



