SÉANCE DU 6 MARS 1922. 655 



une petite aire circulaire (C^) qui, itérée indéfiniment par [Z|R,(Z)], 

 donnera à la limite une surface de Riemann 1, simplement connexe; 

 2° à opérer de même dans un plan 'Ç en itérant indéfiniment par 

 [Z|Ro(Z)] une petite aire (Fo) entourant o, ce qui à la limite donne une 

 surface de Riemann }C.. La relation 'C = G(Z), G(Z) étant la fonction 

 cherchée, fournira la représentation conforme de H., sur'L^. On la réalise en 

 représentants, et S^ sur un plan auxiliaire :; par les fonctions fondamen- 

 tales T, (:;) et F, (s) : 



11 est évident alors que Tof::) = G| F, ( r )J. Donc G(Z ) = Fo| y, (Z)J, 

 Y,(Z) étant la fonction inverse de F,(^) ( ' ). En partant d'un élément circu- 

 laire (F,)) de surface de Riemann ramifiée en o dans le plan 'C, pour engen- 

 drer Zo, on aurait toutes les solutions de G [R,( Z )] = Ro[G(Z)J. 



3. La même méthode, appliquée à Fitération indéfinie du domaine D^, 

 supposé simplement connexe, d'un point double attractif a de R(Z), fournit 

 une surface de Riemann 2 simplement connexe, projetée sur D^, limitée au 

 contour de D^ parcouru une infinité de fois dans le même sens. I peut être 

 représentée conformément sur un demi-plan I(^) ^ o par une fonction uni- 

 forme Z =/(z). "Envisagée sur^, Z, = R( Z) est une transformation biuni- 

 voque de ïi en elle-même, sans point double intérieur àl.[y,, limite de points 

 de ramification de I, n'est pas un point intérieur à S] ; il lui correspond une 

 transformation biunivoque du demi-plan I(r.)>o en lui-même, qui se 

 ramène k z■^ ^= ryz (a réel positif). On a 



.f{az) = ï\[f{z)]. 



Mais, sauf dans le cas où [Z|R(Z)1 est à cercle ou arc de cercle fonda- 

 mental, /{:•) admettra pour coupure l'axe réel l{z) = o. f(z) pourrait 

 s'obtenir : i" en représentant Da sur un cercle du plan t pa;- Z = -^(0; 

 2° en déterminant une fonction fondamentale t = c^iz) de la transforma- 

 tion rationnelle t^ = p(t) déduite de Z, = R(Z): o [cr^J = g( :; )] ; alors 

 f(z-) = '\^[o(z)\. f(z) présente quelque analogie avec la fonction modu- 

 laire. Mais ses valeurs restent intérieures à D^, et elle tend vers a quand z 

 tend vers l'infini sur un rayon issu de o. 



{^) Sur une classe d'équations fonctionnelles {Comptes rendus, l. 173, 1921, 

 p. 8i3). 



