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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un problème nouveau concernant 

 les fonctions analytiques et la représentation conforme. Note de 

 M. Henri Villat. 



Dans un ensemble de recherches sur les mouvemenls fluides tourbillon- 

 naires, j'ai reconnu que la solution d'un nombre considérable de questions 

 dépendait du problème suivant : 



« Déterminer une représentation conforme faisant correspondre à un 

 demi-plan, par exemple, un domaine pour lequel deux portions de la fron- 

 tière puissent être amenées en coïncidence par une simple translation. » 



C'est là un problème que je crois entièrement nouveau, et qui permettra 

 beaucoup d'applications importantes. La question peut se ramener à une 

 équation intégrale pour la résolution de laquelle j'ai pu obtenir un théo- 

 rème d'existence. Dans certains cas la solution se laisse écrire explicitement; 

 dans le cas le plus général, on peut toujours parvenir à une solution appro- 

 chée, à défaut de la solution précise que l'on sait exister. 



Je donne ci-dessous quelques indications concernant d'abord le cas théo- 

 riquement, mais non praticjuement, le plus, simple, où le domaine à repré- 

 senter est une bande indéfinie comprise entre deux courbes déduites par 

 translation l'une de l'autre. Il est naturel de représenter ce domaine sur une 

 bande à bords rectilignes. Un premier procédé consiste à rechercher une 

 fonction analytique se reproduisant à une constante près quand on passe 

 d'un bord à l'autre, moyennant une correspondance convenable entre les 

 points des frontières; on tombe ainsi sur des équations peu maniables, sauf 

 le cas particulier où la correspondance des bords se fait par divisions sem- 

 blables; dans ce dernier cas on trouve l'équatioji intégrale, avec la fonction 

 inconnue F : 



■ 'F(a)-l^^([3) 



r 



Ax ( y.— 'p 



doi-zzi c {c ~^ consl.) : 



cette équation est aisée à étudier : on constate saris peine qu'elle possède 

 la solution 



b (a) = const. 4- — —\ 



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on démontre aussi qu'elle n'en possède pas d'autres. 



Ce cas particulier mis à part, pour surmonter la difficulté du cas général, 

 j'utiliserai un procédé se rattachant à la Mécanicpie des fluides, en suppo- 



