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symboles de Riemann t"^ de V,„ et des symboles analogues R'fJ, qui consti- 

 tuent un système covariant (2, 2). On pourra donc former, à partir de ces 

 trois sot tes de symboles P,"^,,, t;.'J, R*/^, trois séries de covarianls P, G, R, et 

 par suite les invariants de V^, d'une manière systématique, à Taide des 

 transformations infinitésimales des deux «groupes orthogonaux prolongés. 



Or les conditions d'inlégrabilité de ( II), finies par rapport aux G/J et p^, 

 consistent à écrire les covariances de nos symboles; celles qui s'en dédui- 

 sent, également. Les conditions d'application sont donc la compatibilité 

 des équations (1), (I ), (II), et de celles (jui expriment les covariances suc- 

 cessives des trois séries de covariants P, G, R. 



Courbures externes n. ~ Ce sont les invariants formés avec les P*/,. 



^1/12 ' — -^ ils sont au nombre de N = -^— ^ — ^— -: 



- 2 22 



SI /i ^ — '— ) [\ = - — ^ ; SI yo = /i — I , [N = « — I ; on 



retrouve les /z — i courbures principales; si /> = i, N = i, et l'on a la pre- 

 mière courbure de la courbe; si /> = 2, N = 2, 4 ou 5, suivant que ^^3,4 



ou>5. . 



'/ 

 En posant P"^^ = y ( |>=^^ p^^ __ p^ p^^^)^ qai sont des covariants (4, 4), 



a= 1 



un invariant simple est — 2i ^al^ ^^ ^* courbure totale externe » ; pour/?= i, 



elle s'évanouit; pour p = n — i, c'est la somme des doubles produits des 

 courbures principales combinées deux à deux. 



Un autre invariant simple est la « courbure moyenne externe » 



V a \ a 



si ^ = I , c'est l'invariant unique; si p = n — i, c'est la somme des cour- 

 bures principales. 



Relations avec respace E„. — Les conditions d'intégrabilité de (i) et (2) 

 donnent, entre les symboles introduits dans cette étude, et les courbures 

 de Riemann de E„, des relations dont voici quelques applications. 



Si une Vo quelconque a ses deux courbures totales égales, E/^est euclidien; 

 si ceci a lieu pour lonle V„„,, on retrouve un théorème que j'ai énoncé 

 récemment (^ ). 



(') Voir Comptes rendus^ l, 174, 1922, p. 5oo. 



