SÉANCE DU 6 MARS I922. 661 



En appelant « développable » une variété dont tous les P^* sont nuls, on 

 voit que dans un espace de courbure constante, toute développable esta 

 courbure constante égale, et; réciproquement, toute V^, à courl)ure cons- 

 tante égale est développable. 



Si toute courbe, et une géodésique quelconque normale à cette courbe 

 définissent une Vo développable réelle engendrée par des géodésiques nor- 

 males, l'espace E,j est nécessairement à courbure constante. 



Une variété V^, « plane », c'est-à-dire dont toutes les courbures exté- 

 rieures sont nulles, n'a que /) dimensions dans E„. Si, par tout point M 

 de E„, il passe une V^ plane, admettant en M un hyperplan tangent arbi- 

 traire, E„ est à courbure constante; et le long de cette V^^, l'espace normal 

 reste parallèle à lui-même au sens absolu. 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Correspondances ponctuelles déduites de l'étude 

 des trois formes quadratiques fondamentales de deux surfaces. Note de 

 M. Bertrand Gambier, présentée par l\l. G. Kœnigs. 



1. Soient F, $, ^' et F,, <ï>,, ^ï', les formes quadratiques fondamen- 

 tales I^.r*, Iidcd.T, ^dc'^ de deux surfaces Set S, en correspondance ponc- 



tuelle. Si un rapport tel que -rr^ ou -r~y • ■■> dépend uniquement de la posi- 



tion du point M sur S et non de l'orientation d'arc issu de M, je dirai que ce 

 rapport est fonction de M. 



Cherchons toutes les correspondances telles que deux de ces rapports 

 soient fonction de M. Le cas de S, sphère ou surface minima, est facile, 

 écartons-le. Mais alors le réseau des lignes de courbure de S (ou S, j est 

 caractérisé complètement par la propriété de diviser harmoniquement<Yew.r 

 des trois réseaux l^dx"^ == o, 'Ldcdx = o, 'Ldc- = o : donc les lignes de cour- 

 bure seront conservées. 



2. On constate aisément qu'une surface S quelconque ne possède pas en 

 général de transformation ponctuelle du type actuel en une autre surface S, . 

 Rapportons S et S, à leur lignes de courbure (a, v) et dressons le Tableau : 



s. Sj. 



i de- a- (lu- -+- c^ dv- a\ dii"^ -t- c\ dv- 



Idcd.r «2H^/«2^c^RVr2 a\Ki du^ + c\K^dv^ 



Idx'- «^^2 di(^ + c- R- dv' a- ?y\ dir- + c\ \\\- dv- 



Les ({uatre fonctions «, c, 11. Il' satisfont à trois équations aux dérivées 



