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à l'intérieur de C, ainsi que ses dérivées partielles du premier et du second 

 ordre. Il ramène le problème à une équation intégrale. Pour remonter de 

 celle-ci à l'équation (i), on a besoin de prouver que u a des dérivées conti- 

 nues des deux premiers ordres. Pour cela, M. Picard admet que rt, />, c, / 

 sont continus ainsi que leurs dérivées utiles. 



Nous nous proposons de ramener le problème à une équation intégrale ana- 

 logue^ dont la solution ri aura même pas besoin d^ admettre des dérivées 

 premières. Soit 



(2) A« = cp(^,j), 



où o(x^ y) est une fonction à déterminer, d'où (u s'annulant sur le con- 

 tour C ) 



(3) u{x, y)—— ~jj ?(^rfl)C.(^, -fl^-a^, J)f^^ 



dn 



(G, fonction de Green ordinaire). 



Pour que la fonction u(x,y) ainsi définie satisfasse à (2), il suffit, 

 d'après une remarque de M. Hôlder que cite M. Picard ( ' ), que 



?(^iji) — ?(-2t-2y2)< A/•^ 



A et a étant deux constantes positives et ;• la distance de (.37, , 7,) à (x^, jo). 

 Si l'on substitue la fonction u(œ,y) ainsi formée dans l'équation ( i ), 

 qu'on peut écrire aussi 



A« + ca(a:, y) — ca(.t\ v) + « -^ ^ u V- eu z=: J ^ 



on obtient l'équation intégrale en ai(j-, v) suivante : 



(4) o{x,y)-^^J^J 



.^(^-^■^ d^ 



, , . , ^G(t, Ti, ne, y) ■ „ . 



\-b{x, y) ^-^ ^ - c{a-.,y)G{t, -fi, JC,y) 



X 9 ( ç, Y) ) di dn —f{x, y). 



Pour que la fonction «(a-, y) formée avec la solution 0(^,7) de cette 

 équation intégrale soit l'intégrale cherchée de (i), il suffit que ç;(x", y) 

 satisfasse à la condition de Hôlder. Pour cela, il suffit que a, b, c satisfassent 

 à cette condition. Cela se voit sur l'expression de (^(x^y) au moyen du 



C) Journal, de Malh., i8go. 



