SÉANCE DU l3 MARS 1922. 78^ 



l'Univers, Zîo composantes numériques, dont iT) pour le vecteur et 24 pour 

 les couples, tandis que le tenseur ordinaire n'en a que 10. 



La loi de conservation pour le tenseur gr-néralisé d'énerg^ie exprime que, 

 si l'on considère un éléjnent à quatre dimensions de l'Univers, le système 

 formé des vecteurs et des couples attachés aux différents éléments de volume 

 qui limitent l'élément donné est géométriquement nul. Si l'Univers n'a pas 

 de torsion, les 24 composantes qui traduisent la torsion sont nulles d'elles- 

 mêmes : la loi générale de conservation entraîne alors comme double con- 

 séquence : i" l'existence de (3 relations linéaires entre les 16 composantes du 

 vecteur (loi de symétrie du tenseur d'Einstein) ; 2° la loi de conservation 

 ordinaire de ce dernier tenseur. 



L'Univers d'Einstein peut être regardé comme un Univers euclidien 

 déformé (mais sans torsion). On pourrait considérer, plus généralement, 

 des espaces provenant de la déformation, non d'un espace euclidien, mais 

 d'un espace projectif, d'un espace affine, d'un espace conforme, etc. Par- 

 tons, pour fixer les idées, d'un espace affine à trois dimensions, dans lequel 

 les figures n'ont d'autres propriétés intrinsèques que celles qui se conservent 

 par une transformation homographique laissant invariant le plan de l'infini. 

 Dans un tel espace les notions de droite, de plan, de parallélisme subsistent, 

 mais non celles de longueur et d'angle. Le système de référence normal y 

 est formé d'un point quelconque et de trois vecteurs quelconques (non 

 parallèles à un même plan) issus de ce point. 



Gela posé, imaginons un espace non affine, mais possédant, au voisinage 

 immédiat de chaque point, tous les caractères d'un espace affine. Cela 

 signifie d'une manière précise qu'il existe une loi de repérage mutuel de 

 deux systèmes de référence d'origines infiniment voisines. La divergence 

 entre un tel espace et l'espace affine proprement dit se traduira de la ma- 

 nière suivante quand on décrira un contour fermé infiniment petit. 



Attachons à chaque point M du contour un système de référence et con- 

 sidérons les transformations homographiques (ou déplacements affines) qui 

 permettent de passer du système de référence attaché à chaque point JM au 

 système de référence attaché au point infiniment voisin M'. Si en partant, 

 dans l'espace affine proprement dit, d'un système de référence initial, on 

 lui faisait subir successivement les déplace^ients précédents, on ne revien- 

 drait pas au système de référence initial : un déplacement complémentaire 

 serait nécessaire. Autrement dit, à tout contour fermé infiniment petit de 

 l'espace déformé est associé un déplacement affine infiniment petit. Dans 

 l'espèce, ce déplacement pourrait se décomposer en une translation et un 



