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permets de donner un bref aperçu de quelques résultais qui sont intimement 

 liés avecla recherche de M. Cartan. 



2. Le point de départ commun est la notion de parallélisme introduite 

 par M. Levi-Gività (') : si l'on déplace une direction sortant d'un point 

 suivant un chemin fermé infiniment petit (cycle), on y revient avec une 

 direction différente; M. Pérès a donné les formules pour passer de la 

 direction initiale à celle d'arrivée (^). 



Si Ton déplace d'une manière analogue toute l'étoile des directions sor- 

 tantes d'un point, on y revient avec une étoile directement égale à la pri- 

 mitive; l'effet du déplacement est donc une rotation qui a pour composantes 



tr 



^('>, Y]''"' étant les paramètres de deux directions orthogonales sur l'élément 

 de surface qui contient le cycle, oS son aire. 



Tout ce qui se rapporte à cette rotation constitue un invariant relatif aux 

 éléments donnés. 



Dans un espace V„ de dimension impaire, il existe toujours une direction 

 qui revient sur elle-même au bout d'un déplacement suivant un cycle donné 

 (^axe de rotation) : ses paramètres yf'^ sont donnés par 



l»' 



/,y_l^'= O (;■ =r I , . . .. // ) ; 



si n est pair il n'existe pas en général un axe relatif à un cycle donné. 



En particulier, s'il s'agit d'une variété V^ (w = 3), il y a à considérer les 

 invariants suivants : 



1° L'angle que l'axe relatif à un cycle forme avec celui-ci; 



2° La rotation de l'étoile, c'est-à-dire l'angle (rapporté à oS) dont il faut 

 tourner l'étoile autour de l'axe pour la porter sur sa nouvelle position; 



3" La rotation de l'élément de surface, c'est-à-dire l'angle (rapporté à SS) 

 entre la position initiale et finale de cet élément (auquel le cycle appartient). 



On a alors les interprétations cinématiques suivtintes de la courbure 

 riemannienne : elle est la projection sur l'élément de surface du vecteur qui 



(') Nozione di parallelismo, etc. {Rend. Girc. Mal. Palerino, l. 42, 1917)- 

 {^) Le paraltélisine de M. Levi-Cività^ etc. {Rend. Accad. Lincei, vol. 28, 191 9, 

 p. 425-428). 



