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ACADEMIE DES SCIENCES. 



A', /{-r) est uniforme et continue pour tout domaine appartenant à E; 

 puis, eu posant 



,, /(p, g'-.) — /(o r'-t) - /(p e">) - /(p e^n _ 



• (o.-p)'''"' pCe-'-e'") ~'^' 



il suffit dé' supposer que p f'", p, e"', p t^"' appartenant à E, il correspond à 

 tout nombre positif s, arbitrairement petit, des quantités positives g et ô, 

 telles que 



tant que - 



Ipi— PI<''^' i '":— '•1<''^i- • ^ 



Le (héorème de Caucliy découle de ces deux suppositions. 



On voit que réj^alité B peut être transformée dans Tégalité suivante : 



/(pi^'":0— /(pg") _ /(pp"-.)-/(pe'>) _ ^^^ (p,-p)e'- ^ 

 p , r"' — p :'"' p ( r'"'> — f.'''' ) p 1 r-""' — p e'" 



ou 



(pi — p)e" 



tant que 



Posons alors 



C. (r()u'il coiTespond à 



Pie"' — pe" I ' ' 

 lp,-p|<ô, h',-f|<o,. 



/(pe-.)-/(?'"0 



p(e''"'— e-'") 

 une quanlité/,'(p{'") donnée d'une manière univoque et telle que 



p(e'"''— e"^] 



fUpe'n 



<^ i 



dès que h', — <^ | <C «5, . » 

 On oblient. dans ce cas, 



/(pie'"')-/(pe''') 



p, r"''-^ ,ot'' 



■.^:(?''^") 



<5S. 



ou 



1 ). « l'>n mettant 



|pi— p|<0, |C, — l|<Oi. 



.r = pi'""', A := Pi^" ' — p^'"'' 



il correspond par conséquent, r appartenant au domaine E, à chaque 

 nombre z un autre nombre positif /] tel que 



/(a+/0-/(.r) 

 // 



tant que |/.K "/;. » 



I 



