SÉANCE DU 20 MARS I922. 797 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la détermination des équations différentielles 

 du second ordre intégrables par quadratures. Note de M. Jules Drach. 



11 s'agit ici des équations de la forme 



(.) y'=R(y), »" / = ^' /'=£^'' 



et où R désigne une fraction rationnelle de y' dont les deux termes sont de 

 degré donné en y', leurs coefficients étant des fonctions quelconques 

 de X et y. Les cas de réduction les plus importants sont ceux où l'équa- 

 tion (i) possède une intégrale première algébrique (par suite rationnelle) 

 en x', soit 9 = R,(r'), et où l'équation dy — y' dx = o correspondante est 

 aussi susceptible de réduction. Cela exige (jue, pour l'équation 



^ ' dj; oy 



l'un des éléments 



ou i = ]'\>, y\, soit rationnel en y'. Il faut y joindre le cas où l'on peut 

 ajouter une relation -^ — p^==o, où p est rationnel (ou algébrique 

 à deux valeurs) en y'; .j; étant donné par un système complet aux 

 variables x, y, cp. 



Lorsque 'J>, K ou J sont rationnels en y', (i) peut s'intégrer par des 

 quadratures. J'ai réussi à former explicitement les types des équations (t) 

 qui présentent ces réductions. 



L La méthode sera précisée dans l'hypothèse où 9, intégrale première 

 de (i), est entière en y : 



'.•;-.l 



(2) (^^a^y^-^-a^y 



et de degré minimum, de sorte que j^ et ^ "•" T?/ ^^^^ ^^"^ diviseur 

 commun en j'. 



Si l'on suppose que ->[/ est aussi un polynôme entier en y', de degré 



m= {n -hp) : 



t\> — boy"" + b, y'"--' + . . . + b„„ 



on aura à satisfaire à l'identité en y' : 



