yç)8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



C'est le système (I) d'équations aux dérivées partielles pour les a et les b 

 que l'on va intégrer : Un changement de la fonction j, donné par une qua- 

 drature partielle, et un autre : a?, =:/(^), de la variable, permettent de 



poser 



«g— I, ba= X (ou />„== i) 



et donnent la condition immédiate 



/nvoi — n(y -h bi) =z\(x). 



Et) observant ([ue 





où A est un polynôme de degré p, on aura (n — i) conditions algébriques 

 entières entre les a et les />, exprimant cette divisibilité. 

 Une intégrale est définie par 



A(À)=.o, '|(}i) = C m: const. ; 



elle exprime que l'équation '\>{y') = C possède une intégrale singulière. 

 Les intégrales qui manquent résultent de l'expression 



•^ ày dy 



Si Ui désigne l'une des (m — i ) racines de K(j') = o, on a 



d;(a/) = F,(cp,), A(/^)=: f— ^^ avec q(«/) = 9/, 



où les F/ sont des fonctions arbitraires. Ces o-, sont ici les variables caracté- 

 ristiques ci' Ampère du système (-). 



Il n'y a pas de difficulté à traiter le cas où Iv a des racines multiples. 



II. Précisons également la méthode lorsqu'il existe pour dy — -/ d.r== o 

 où 



(2) cp=j'" + a,j'«-' + ....4-r^,— (v'-/J., )...(/' -,aj, 



une intégrale ]/ avec un multiplicateur K de la forme 



OÙ les [3 sont rationnels, positifs ou négatifs (ou même quelconques, ce qui 

 correspond à J ratioimel en j'). Les racines de -y-^, = o sont des pôles pour 



do' 

 La résolvante en K s'écrit : 



l'intégrale , 





