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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la iransformalion des substitutions ration- 

 nelles en substitutions linéaires. Note de M. Gaston Julia. 



1. Z, = R(Z) étant une substitution rationnelle donnée, on cherche une 

 fonctiony(:;) satisfaisant ày'[S(-)J = H[/(z)], S(r) étant une substitu- 

 tion linéaire. Si l'on ne s'astreint pas à la considération des points doubles 

 de [Z| R(Z)] [laquelle donne naissance à des fonctions connues], il y a une 

 infinité de manières de résoudre le problème, comme M. Picard l'a indiqué 

 dans plusieurs Mémoires. Voici une nouvelle méthode pour traiter la ques- 

 tion. On part d'une petite courbe C du plan Z (premier feuillet) limitant une 

 aire (C) ne contenant aucune racine de R'(Z) = o, pour simplifier. Lorsque 

 Z la décrit dans le sens positif Z, = R(Z) décrira dans le sens positif une 

 petite courbe C,, limitant une aire (C,). On suppose C et C, extérieures, 

 ce qui aura toujours lieu si C est assez petite (') et n'entoure pas un point 

 double de [Z|R(Z)]; de plus l'aire C, est supposée portée par un deuxième 

 feuillet, relié au premier par une ligne de croisement intérieure à G,. La 

 partie du premier feuillet extérieure à C, avec celle du deuxième intérieure 

 à C,, forme une surface de Riemann i^o à deux contours G et C, dont la 

 connexion est celle de l'aire latérale d'un cylindre de révolution. [On aurait 

 pu aussi bien {^) supposer G, sur un /i'*-"" feuillet, les 2'^"% 3""'% ..., (^ — i)''"'* 

 feuillets étant des plans entiers, chacun d'eux relié au précédent par une 

 ligne de croisement, le (/z — ly*"» relié à l'aire (G,) du /z'*"" par une ligne de 

 croisement intérieure à C,.] Lorsque Z décrit So? Z» = R(Z) décrit une 

 aire '^^, de même connexion que I^,, qui s'ajuste à lo le long de G,, 

 Z2 = R(Z, ) décrit Z2 qui s'ajuste à I, par une courlje G2, etc. A la limite, 

 la surface il = Zo H- 2, 4- -^ + ••• aura la connexion d'un cylindre de révo- 

 lution illimité dans un sens. Elle sera représental)le conformément sur un 

 anneau circulaire (y, y') par une fonction '( = 9(Z), qui à G fera corres- 

 pondre un cercle y, et aux courbes G,, G., ... qui morcellent - fera corres- 

 pondre des courbes y,, y., ... parcourant l'anneau (y y') et tendant unifor- 

 mément vers le cercle intérieur y' pour n = oc. Les aires S^, S,, i^o, ... ayant 

 le même module de représentation conforme^ le cercle y' devra se réduire à 

 un point O centre de y. 



(') La supposition que G est assez petite n'intervient que pour simplifier l'expo- 

 sition. 



(-) La supposition essentielle est que io> limitée par G et Cj, ait la connexion d'un 

 cylindre fini. 



