SÉANCE DU -20 MARS 1922, 80I 



Deux points Z et Z, qui se correspondent sur ï par Z, = lv(Z ) sont trans- 

 formés en deux points Z — o(Z) et "C, — 9(^-1) intérieurs au cercle 7 et 7^ o 

 qui se correspondent analytiquement. La correspondance analytique 

 Z^ = '^'C^) doit conserver l'origine "C = oet par suite elle s'étend à Voriginc : 

 •|((C), holomorphedansy, nul pour ^ = 0, transforme l'aire (y) en l'aire (y,) 

 complètement intérieure à (y) et la correspondance est biunivoque; donc 

 |f(o) = cr|<i. 



Mais on sait qu'il existe une fonction s = 0(«Ç), liolomorphe dans (y), 

 |0(o) = o, O'(o) = i], telle que G ['|( r j] = crO( (I) et comme r = '];_, CC,) 

 [fonction inverse de '\>CC)\ est holomorphe dans (y,), "C = '^-<(-) sera une 

 fonction holomorphe de z dans l'aire simple (3) que décrira z quand 

 C décrira ( y ). 



En définitive, à Z etZ, de i correspondront :; et j, de {Z ) liés par la 

 relation z^ = 'JZ. La fonction z = H[^{Z)\. uniforme sur I, représente 

 d'une manière conforme ii sur( z )de façon que z^ = 0[o( Z, )] = az. Inver- 

 sement,* Z zz^ f(z) sera uniforme et méromorphc dans z et telle ([ue 



f{^z)^K{f{z)-\ et l^|<i; 



seulement :; = o sera point singulier essentiel de f (z ) . En posant z = e", la 

 fonction /(e~") = F(w) admet la période i-i^ est méromorphe dans un 

 certain demi-plan cil(M)^a et l'on a 



avec w = — loger. Cette fonction est une de celles qui ont été signalées par 

 M. Picard. Elle dépend de la formation de ï„ qui renferme une large part 

 d'arbitraire. 



Si C était un petit cercle entourant un point double répulsif et C, sur le 

 même feuillet que G de façon que -0 •^'^^^ simplement Vanneau (C^ C, ), on 

 retrouverait pourri z) les fonctions de Poincaré. 



2. On a ainsi résolu le problème suivant : Représenter conformément Iq, 

 limitée par deux contours CetC^, qui se correspondent d'une façon biuni- 

 voque et analytique par Z, = R( Z), sur une aire plane annulaire limitée par 

 deux contours ô et c, qui se correspondent linéairement par z ^=^ '7z : On a 

 linéarisé la substitution entre les contours. 



La résolution du problème particulier de l'aire à deux contours sert à 

 traiter le problème plus général suivant : 



Étant donnée une aire limitée par 2/> contours qui se correspondent deux 

 à deux d'une façon biunivoque et analytique, la représenter conformément 



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