8o2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



sur une aire plane à ip contours de façon que les/? suljstilutions analy- 

 tiques entre les contours deviennent linéaires. ( Voir les travaux de 

 M. Koebe. ) 



. 11 est en particulier possible de linéariser simiiUanémenl p substitutions 

 rationnelles quelconques. Décrivons, sur un premier feuiltet, p petits contours 

 deux à deux extérieurs C,, C,, ..., C^; leurs p transformés C, , C, ..., G],, 

 respectivement par [Z|R,(Z)], [Z| R^^Z)], ..., [Z | Il/,(Z)] seront supposés 

 tracés sur un 2% un 3®, ..., un (p h- ly^^^^ feuillet; les aires ( (1, ), ..., (C^,), 

 (C'j), .,., (C^j étant supposées deux à deux extérieures, on reliera 

 (C, ), ..., ( C^J au premier feuillet chacune par une ligne de croisement inté- 

 rieure; on aura ainsi une aire Z^ limitée par C,, G., ..., G,,, G,, G'^, ..., G',. 

 qui a même connexion qu'une aire plane contenant le point à l'infini et 

 limitée par ip contours intérieurs. Il est possible de la re])résenter, par 

 z = a)(Z), sur une telle aire cr„ limitée par y^, y^^ •••^ Y/;' T, ' Y^' T/>- ^^ ^^ 

 telle façon qu'aux couples |Z, R/(Z )] décrivant G, et G) correspondent 

 des couples | :;| S/( ^ ) | décrivant y, et y/. S, étant une substitution linéaire. 

 Z = /( ^ K fonction inverse de 9(Z), sera uniforme et mèromorphe dans 

 Faire cto à ip contours, et elle vérifiera les/) équations fonctionnelles 



/[S,(..)]=:R,[/(::)] (^-=1,:., ...,/>), 



ou S,U)= '-^^ 



y,z +0. 

 /( 2 ) sera encore mèromorphe dans tout le domaine déduit de g-^ par les 

 substitutions qui sont des proauits de puissances entières positives des S,. On a 

 ainsi pour /"(r ) un domaine d'uniformité limité par une infinité de courbes 

 déduites des y,, y', par les substitutions précédentes. Si Ton opère des sub- 

 stitutions où entrent comme facteurs des puissances entières négatives 

 des S,, /"(;) cesse en général d'être uniforme. Le groupe engendré par les 

 p substitutions S, et leurs inverses est kleinéen. c-„ est son domaine fonda- 

 mental; mais on ne choisira dans ce groupe que les substitutiojis dont tous 

 les facteurs ont des exposants positifs ou nuls pour étendre de façon cer- 

 taine, à partir de o-„, le domaine où/( z ) reste uniforme. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégrale dé/inic et la mesure des ensembles. 



Note de M. Stoïlow. 



I . L'intégrale de Lebcsgue 



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