SÉANCE DU 20 MARS I922. 8o3 



exprime la mesure superficielle de renseinble de points du plan xOy dont 

 les coordonnées satisfont à 



[cette dernière inégalité étant remplacée par l'inégalité inverse si /'{-x) <^ oj. 

 Je vais montrer ici que Ton peut exprimer par une intégrale simple con- 

 nue (i) la mesure superficielle d'un ensemble quelconque à deux dimen- 

 sions, mesurable au sensde Borel-Lebesgue. On pourrait étendre facilement 

 le raisonnement au cas des ensembles à n dimensions et exprimer leur 

 mesure par des intégrales n — i fois multiples. 



2. Disons qu'une propriété a lieu sur presque toutes les droites parallèles à 

 une direction^ si les parallèles où elle n'est pas vérifiée coupent une transver- 

 sale (par exemple l'un des axes des coordonnées) suivant des points dont 

 l'ensemble est de mesure linéaire nulle. 



Si un ensemble E, formé de points du plan xOy^ est mesurable super- 

 ficiellement, il est mesurable linéairement sur presque toutes les droites 

 parallèles à une direction donnée quelconque, c'est-à-dire que les 

 ensembles E^,/,, partie commune entre E et la droite (f/) sont presque 

 tous mesurables. 



Considérons en efYet toutes les droites parallèles (<^) qui contiennent au 

 moins un point de E. Si E est mesurable, il existe un ensemble fermé F 

 contenu dans E et tel que E — F est de mesure extérieure plus petite que £% 

 aussi petite que soit la quantité positive z. Soient Ey et F ,/) les parties 

 communes de E et de F avec la droite (û^). 



On peut montrer que si E — F< £- les droites (<^/), où l'on aE.,/) — F,,^; >£, 

 coupent l'un des axes en des points dont l'ensemble est de mesure linéaire 

 inférieure à i. 



En faisant tendre F vers E, les droites {d) où E^^ — F,/; ne tendra pas 

 vers zéro couperont l'axe en un ensemble de points de mesure linéaire 

 nulle. 



3. Pour mesurer E on pourra donc faire abstraction des ensembles E,/ 

 où E^,/;— \\,i, ne tend pas vers zéro ave £, c'est-à-dire où E ^^ n'est pas 

 mesurable linéairement. 



Soit alors T l'ensemble des points où les droites {d) coupent l'axe. Il y 

 aura dans T un ensemble de mesure nulle correspondant aux E,^, non 

 mesural)les. Le reste de T pourra se partager en deux ensembles : l'un sera 

 la projection de la limite des F croissants et tendant vers E, l'autre sera la 

 projection de certains E,„ de mesure linéaire nulle. Le premier sera néces- 



