SÉANCE DU 27 MARS 1922. 85 I 



à 5-^- lia posé la question de savoir si Irqualion à /• -4- i termes 



1 + ^ H- «1^'".+ aiX"'^-\-. . .+ rt/,_i.z- '"*—=: o, 



a toujours une racine dont le module est limité supérieurement par un 

 nombre o(A- ) ne dépendant que du nombre dt^s termes de Téquation (' ). 



Dans une Noie récente, M. Sarantopoulos a annoncé qu'il avait obtenu 

 une démonstration algébrique de l'existence de ce nombre o(^) (^). 



Je me propose d'énoncer ici une proposition faisant connaître la valeur 

 tout à fait simple de o{k) et quelques généralisations de cette proposition. 



On établit, par une voie très élémentaire, le théorème suivant : 



V équation à k -k- \ termes 



I < "'1 < /"2 < • . . < "l/^^i 



a toujours une racine dont le module est inférieur ou égal à />\ La râleur 

 maximum de ce module n^'st atteinte que pour les racines de V équation 



J'Y 



2. Supposons que, au lieu de fixer le coefficient de x, on ait fixé, dans 

 l'équation, le coefficient de la puissance xP. On peut toujours, par le chan- 

 gement de X en A.r, admettre que ce coefficient est égal à l'unité; on a alors 

 l'équation à /• 4- i termes 



I -t-rt,a;"'.-i- a^x'"^-\-. . . + x'' -^ . . .-\- fl'/,_,vr '"»-.= o, 

 mi < ;«o < . . . < /» < . . . < /«A-i. 



Une équation à k -h i termes, dont le terme constant et le coefficient de x^ 

 sont égaux à V unité, a toujours une racine dont le module est inférieur ou 

 égala vC/', en désignant par Cl le nombre des combinaisons de k objets, pris 

 pàp. . 



(') E. Landau, Ueber den Picardsclien' Satz {Vierteljahrsschrifl der natiir-- 

 forschenden Gesellschaft in Zurich, t. 51, 190O, p. 3i--3i8). — Sur quelques géné- 

 ralisations du théorème de M. Picard {Annales de l'École IS or maie, o" série, t. 24, 

 1907. P- 198-201). 



(-) Comptes rendus, t. 174, 1922, p. 592. 



