SÉANCE DU 27 MARS 1922. 853 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — 5///' les équations non linéaires aux dérivées' 

 partielles du second ordre du type elliptique. Note de M. Georges Giraud. 



Les propriétés énoncées dans ma dernière Note (') relative à l'équation 

 du type elliptique 



^[d'^u d-u ÔUi Ou du \ 



\d^i\ Ud^iOji-2 ax-,„ OJCi or m J 



admettant la solution u = o, appellent une rectillcation et peuvent recevoir 

 quelques compléments. 



Tout d'abord le contour C, sur lequel on donne 



«=/9(a,, a.,, . . ., a,„_, ). 



a été supposé suffisamment petit : or il est au moins plus simple de le 

 supposer, en outre, convexe, et même à courbures principales en chaque 

 point assez fortes. Ces conditions sont remplies si C est une hypothèse. Le 

 rayon assez petit, cas auquel je me bornerai dans ce qui suit. Toute hypo- 

 thèse sur le signe de F^ devient alors inutile. 



Le fait que la solution obtenue est analytique à l'intérieur du contour C 

 ne s'apercevait pas directement sur les limitations données dans ma dernière 

 Note. Pour éviter de recourir à d'autres considérations, par exemple 

 aux raisonnements de M. Gevrey ( - ), on peut établir ce point comme 

 il suit. 



Supposons que l'hypersphère C de rayon «, sur laquelle on donne a^ 

 soit intérieure à une hypersphère D de rayon «', telle que F soit holomorphe 

 quand (a?,, x.^^ . . . ^ x^^) est dans D ou sur son contour, u et ses dérivées ne 

 sortant pas d'un domaine Z assez petit et comprenant les valeurs 



du ^ d^u 



dx^ ' ' ' 0^1, 

 Soit 



( 2) :r] -t- a\] -H . . . H- x*„ = (7'- 



l'hypersphère D. Introduisons, au lieu de x^, a?,, ..., ^,„, des variables 



C) Comptes rendus, t. 173, 1921, p. 543. Jai cliangé en ru le nom du nombre des 

 variables, pour éviter la confusion avec le rang n des approximations successives. 



(^) Maurice Guvrey, Sur la nature analytique des solutions des équations aux 

 dérivées partielles {Annales scientifiques de V Ecole Normale supérieure^ t. 35, 

 1918, p. 129), où les résultats sont démontrés pour /?* =r 2. et annoncés pour m > 2. 



