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complexes, 



-/, = f'/c -+- ijk ' (/.= I ,:?.... , m ) , 



et considérons le domaine linéairement connexe, comprenant l'intérieur 

 de 1^, et Iimit('' par Tenveloppe des hypersphères 



(3) .x\ -H cv\ +. . .+ xl,-^y\ + r2 +. . . + jf„ — '.ly.-fH — iy.f\.—. ..— ifn.rim = «", 

 oîi "^17 "'^j2> • • • j flm sont des paramètres liés par la seule relation 



(4) -/)j + -05+. .. + -fl;„ = 6'-. 

 Pour avoir l'enveloppe, on doit poser 



( ■">) yk — >^-oa ( /.■ — ï , 2, . . . , m), 



et A est donné par l'équation 



(6) x\ + x\^... + xi, + o. — KYir-^cr--^ir-; 



la portion utile de cette enveloppe est celle qui satisfait aux inégalités 



(7) x\-{- xl + ...+ x-„,''^a'-, \lo. 



Considérons le domaine analogue où a^, 1/ sont remplacés par a et par 

 le nombre h tel que a' b = ah' . Si a', h' et le rapport a' : h' sont assez 

 petits, le domaine complexe défini par les relations (5), (<)), (7) peut être 

 substitué au domaine réel de ma Note précédente; chaque fois qu'on passe 

 d'une approximation à la suivante, on le remplace par un domaine plus 

 petit, homothélique du précédent, et contenant toujours C à son intérieur. 

 Les rapports successifs {a' — a) ; a tendent vers zéro et jouent un rôle 

 analogue, dans les limitations, au nombre R de ma dernière Note. On 

 prouve ainsi la convergence uniforme dans le domaine défini par les rela- 

 tions analogues à (5), (6), (7), où a' , // sont remplacés par rt, b. La limite 

 est par suite holornorphc à V intérieur de ce domaine. 



La démonstration s'appuie sur le fait que les caractéristiques des sphères 



(8) x\ + x\ + . , .-\-xl,^ y\-vy\-\-.. • + jL— 27iYi,— 2/2 Y)2 — ...— iy,„'(i„^ = a' 

 OÙ les paramètres r^, , 7]2, . . ., y]^ sont liés par la rektion 



(9) Y)]4- Yj^ + . . .+ Yi^, = C-, 



C étant assez grand, peuvent être substituées au domaine réel dans la solu- 

 tion du problème de Dirichlet; en effet, le conoïde caractéristique de 

 M. Hadamard, relatif à un point d'une de ces multiplicités, n'a alors abso- 

 lument que ce point de commun avec la multiplicité. 



