SÉANCE DU 27 MARS 1922. 855 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le rôle de la loi de Gauss dans la théorie des 

 erreurs. Note de M. Paul Lévy, présentée par M. Hadamard. 



Le rôle de la loi de Gauss dans la théorie des erreurs s'explique par la loi 

 des grands nombres, qu'on peut énoncer comme suit : des erreurs indépen- 

 dantes les unes des autres^ très nombreuses et très petites^ ont une somme qui 

 obéit à la loi de Gauss. 



Depuis Bernoulli, Gauss, Laplace et Poisson, de nombreux auteurs ont 

 montré l'importance de cette loi. Mais il ne semble pas qu'on ait donné de 

 démonstration à la fois rigoureuse et ne s'appuyant que sur des hypothèses 

 assez larges pour qu'on puisse aisément admettre qu'elles sont vérifiées en 

 pratique. Poincaré n'a considéré que le cas où la fonction caractéris- 

 tique 9(^), valeur probable de cosjj; h- ?'sin ::./-, est développable en série 

 de Taylor; mais sa méthode a une portée bien plus grande qu'il ne l'a" 

 indiqué. J'ai déjà donné des indications sur ce sujet dans mon cours de 

 l'Ecole Polytechnique, et je me propose d'y revenir avec plus de dévelop- 

 pements. J'indique seulement ici les hypothèses qu'il faut faire sur les lois 

 de probabilité composantes pour arriver au résultat. 



Désignons par F(.ï-) la probabilité pour que, dans (me de ces lois, l'erreur 

 soit inférieure à x, et supposons sa valeur probable (si elle est finie), ramenée 

 à zéro par addition d'une constante. Il faut supposer : 



1° Que les très grandes valeurs de l'erreur sont très peu probables; d'une 

 manière précise que l'erreur quadratique moyenne 111^ définie par 



-/ 



.r- d¥ {x), 



soit finie et que, si petit que soit £, on puisse déterminer un nombre c, le 

 même pour toutes les lois composantes, tel qu'on commette sur l'intégrale 

 précédente une erreur relative inférieure à £ en négligeant les valeurs àear 

 supérieures à c. 



2^ Qu'aucune erreur ne constitue une fraction appréciable de l'erreur 

 totale; d'une manière précise, que nr constitue une fraction inférieure à t 

 de la somme M- = Zm-. 



L'importance de la deuxième condition est évidente. Pour mettre en évi- 

 dence celle de la première, nous allons étudier le cas de lois pour lesquelles m 

 soit infini. 



