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Considérons d'abord la loi de probabilité définie par 



(1) ■ F'(.r) 



Elle jouit des propriétés suivantes : si deux erreurs obéissent à cette loi, 

 avec des valeurs « et è du paramètre, l'erreur totale obéit à la même loi, 

 avec la valeur a -h b du paramètre. Si n erreurs obéissent à cette loi, l'erreur 

 totale obéit à la même loi, le paramètre devenant 71 fois plus grand (et non 

 y// fois, comme dans l'énoncé liabituel de la loi des grands nombres). La 

 précision ne peut pas être augmentée en prenant la moyenne de n mesures, 

 à moins qu'on ne prenne le soin d'écarter, dans une proportion déterminée, 

 les mesures ayant donné les plus grandes et les plus petites valeurs; sans 

 cette précaution, l'influence de quelques mesures très défectueuses empê- 

 cherait d'obtenir une bonne évaluation de la quantité à mesurer. 



Ces résultats peuvent s'étendre à d'autres lois. Si l'on cherche toutes les 

 lois stables, c'est-à-dire tous les cas dans lesquels deux erreurs obéissant à 

 des lois de même forme (c'est-à-dire se ramenant l'une à l'autre par un 

 changement d'unité) ont pour somme une erreur obéissant à une loi de la 

 même forme, on trouve pour la fonction caractéristique d'une telle loi 



(2) \ogc^{z)~—\az\=', (o<a<2). 



Pour a = 2, on a la loi de Gauss, et, pour a — i, celle définie par la for- 

 mule (i). La relation entre les paramètres des lois composantes et celui de 

 la loi résultante est 



Si a^i,on peutdévelopper une théorie delà compensation des erreurs iden- 

 tique à celle déduite de la loi de Gauss, à cela près que les poids des différentes 



a 



mesures sont proportionnels à a'"". Si a^i, cela n'est pas possible; pour 

 a<^i la précision des mesures, au lieu d'augmenter si l'on remplace plu- 

 sieurs mesures par leur moyenne, diminue. 



Chacune de ces lois a un domaine cVattraction composé de lois de proba- 

 bilité pour lesquelles elle joue le même rôle que la loi de Gauss pour les lois 

 pour lesquelles m est fini. Ce domaine comprend les lois pour lesquelles la 

 valeur probable de \x\p est finie sijo < a et infinie siy9>» a. 



Indiquons enfin les circonstances qui se présentent si l'on compose des 

 lois appartenant à plusieurs domaines d'attraction différents, par exemple 

 p lois de la forme (i), avec le paramètre a, et q lois de la forme de Gauss, 



