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tion définit un Univers conforme à quatre dimensions; les rayons lumineux 

 jouent dans cet Univers le même rôle que les droites isotropes dans l'espace 

 conforme ordinaire. 



Les transformations conformes qui laissent invariant un point donné A 

 forment un sous-groupe du groupe conforme : par une inversion de centre A 

 ce sous-groupe se ramène au groupe des similitudes (déplacements et homo- 

 théties); en particulier les transformations qui, par Tinversion considérée, 

 se réduisent aux translations, jouissenl de la propriété de remplacer tout 

 cercle passant par A en un cercle tangent; autrement dit, elles conservent 

 toutes les directions issues de A ; nous donnerons à ces transformations parti- 

 culières le nom Relations. En définitive, il résulte de ce qui précède que 

 toute transformation conforme qui laisse fixe un point donné A peut se 

 ramener : i° à une homothélie de centre A; 2" à une rotation autour de A; 

 3*' à une élation. C'est l'existence de ces élations qui distingue l'espace 

 conforme de l'espace euclidien des similitudes dont TUnivers de H. Weyl 

 peut être considéré comme une déformation ('). 



Cela posé, atout espace conforme généralisé correspondra une équation 

 obtenue en annulant une certaine forme quadratique de différentielles ; 

 mais cette équation ne suffira pas pour définir l'espace généralisé, car elle 

 ne donnera qu'une partie des éléments nécessaires au repérage mutuel de 

 deux systèmes de référence attachés à deux points infiniment voisins. Quelle 

 que soit cette loi, elle se traduira, pour tout contour fermé infiniment petit 

 partant d'un point A et y revenant, par une transformation conforme infini- 

 ment petite associée à ce contour et qu'on pourra toujours décomposer : 

 1° en une translation; 2° en une homothétie de centre A; 3° en une rota- 

 tion autour de A; 4° en une élation de centre A. L'espace conforme géné- 

 ralisé aura ainsi une courbure de translation ou lorsion, une courbure 

 d'homolhétie, une coui bure de rotation et une courbure d'élation. 



L'équation obtenue en annulant le ds- de l'Univers d'Einstein définit 

 une infinité d'espaces conformes généralisés. Les rayons lumineux seront 

 les droites isotropes généralisées d'un de ces espaces si celui-ci est dénué de 

 torsion. 



A une équation ds- = o donnée correspondent une infinité d'espaces con- 

 formes généralisés dénués de lorsion. Parmi tous ces espaces on peut en 

 trouver un et un seul satisfaisant aux conditions supplémentaires suivantes : 



i'^ Il n'a pas de courbure d'homothétie ; 



(*) Loc. cil. 



