SÉANCE DU 3 AVRIL 1922. 919 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la formule d'interpolation de Stirling. 

 Noie de M. j\.-E. Norlund. 



Dans la théorie des approximations numériques, ks méthodes d'interpo- 

 lation sont d'un grand secours; pour l'Astronomie, elles ont une importance 

 capitale. On en fait usage dans la construction des tables numériques, dans 

 le calcul des éphémérides et encore quand on a besoin de faire une différen- 

 tiation mécanique ou une intégration mécanique. Le calculateur se sert le 

 plus souvent de la formule d'interpolation suivante 



qui remonte à Stirling el qui a été retrouvée par Lagrange. Les coeflicients 

 «s et />, s'expriment aisément par les valeurs de la fonction F(:;) dans les 



points z = o, ±1, ±2, Comme cette série se présente aussi dans 



plusieurs problèmes d'analyse, je me suis demandé à quelle condition elle 

 sera convergente. 



Je démontre d'abord que, si la série converge au voisinage d'un point 

 quelconque, elle convergera uniformément dans tout domaine fini du plan. 

 La série représente donc toujours une fonction entière. Cette fonction est 

 d'ailleurs d'une nalure bien parliculière comme nous allons le voir. La 

 série (i) diverge par conséquent dans tous les cas où l'on a fait usage de cette 

 formule d'interpolation. Il est bien singulier que, dans les calculs numé- 

 riques, l'on tombe si souvent sur des séries divergentes. 



Pour trouver la condition de convergence, je fais remarquer que le terme 

 complémentaire de la série (i) est égal à l'intégrale suivante : 



•2-1 J .r{x- — 1-) (x- — 2'-) . . .{jc- — /*-) X — z 



Posons x = re"'. Comme ligne d'intégration, je prends une courbe qui est 

 composée de deux arcs de la lemniscate de Bernoulli, qui a pour équation 

 /■- = 2/î- cos2f, rc'unis par deux arcs d'un cercle ayant l'origine pour centre et 

 avec le rayon iogw.Ce choix du chemin d'intégration est un point essentieldans 

 notre démonstration. Il va nous permettre d'indiquer, avec une très grande 

 précision, la condition qui assure la congruence de la série. Si l'on avait 

 cheminé le long d'une autre cour])e, on aurait tronvé une inégalité moins 



