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précise. Afin de pouvoir énoncer la condition de convergence sous une 

 forme simple, je définis une certaine fonction '\^(v) par les deux expressions 

 suivantes. On aura 



(];( i') zn cosc log(^cos 2 (' + \^2 cosi)" -f- 2 sin (' arc siii ( y/g sin ç) 



dans l'intervalle o^(^5 t' et X'f^') = 7ïsinç^ dans l'intervalle 7 5pf: -• La fonc- 



lion ']^(v) doit en outre être paire et admettre la période t.. On vérifie aisé- 

 ment que cette fonction est continue et positi\ e pour toutes les valeurs de i^. 



Elle est croissante dans Tintervalle o^vli - et décroissante dans l'intervalle 



- SvUt:. Enfin elle satisfait aux inésfalités 

 2 - - ^ 



71 1; ij; ( (' ) 1; 2 log ( I 4- y/2 ) , 



et l'on aura 



i];(o) — ^|;(±:7:•) = 2log(i + \/2), 



Cela posé, reprenons la série (i). On démontre que la fonction entière F(,^) 

 qu'elle représente satisfait à l'inégalité 



|F(/e'^) I < /■e'^'^coosl. 



Mais cette inégalité ne suffit pas pour assurer la convergence de la série. 

 Posons 



h{v) = \\msup ^' ^ ^' - 



Par une étude approfondie du reste (s) on démontre que la série (i) con- 

 verge et représente la fonction F(^) si A((^) < 4'(^') pour toutes les valeurs 

 de ('. D'autre part on démontre que la convergence de la série entraîne 

 que A((')^!]>(ç'). Mais on peut aller plus loin. Admettons que la fonction 

 entière F(£c) = F(re" ) satisfasse aux inégalités 



I F(^) + F(— ^r) I < Ae'">C^), 



pour toutes les valeurs suffisamment grandes de v. L'intégrale (2) fait voir 

 que la série (i) converge si [îJi^o, pj<<i. Ces conditions de convergence 

 ne suffisent pas pour assurer la convergence absolue ; mais la série (i) con- 

 verge absolument si fl,< — i et ^.^<C.o. Il arrive que A(r) = vp(^) pour 

 toutes les valeurs de v. Mais un cas particulièrement intéressant est celui où 



