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été signalé. D'ailleurs chaque surface I,, ou I/, est accompagnée de la surface 

 isothermique associée, solution nouvelle correspondant au changement de 



\/t «" V 



•A 



sisrne de . , , — ., y 



Les solutions classiques : quadriques et cyclides de Dupin, donnent ainsi 

 de nouvelles surfaces, transcendantes, dont les coordonnées sont des fonc- 

 tions algébrico-logarithmiques de deux paramètres, 



3. Dérivant (2) une fois en j?, ou j, puis deux fois en (a?, j) et élimi- 

 nant X", \ ", on obtient 



(3) 2(X — 1^' - '— ' — 



-f-X' 



âx'-ây- p <7 



35/ tr' 



3 y 



</ P. 



'b-f-'Û- 



a, |3, Y, désignant les dérivées troisièmes de :;. Il ya deux cas à distinguer: 

 dans le premier cas, (2) et (3 ) ont leurs coefficients en X — Y , X' et \' pro- 

 portionnels, et l'on retrouve simplement les quadriques, cyclides de Dupin 

 et surfaces qui en dérivent par la remarque du numéro précédent; dans le 

 second cas, on peut résoudi e ( 2 ) et ('3 ) comme équations linéaires en 



X' —y 



dérivées premières de ^, = log(X— \ ), et la fonction :: doit vérifier le 

 système 



(4) r + I ^e-=o, 



d'où l'on a éliminé complètement X, Y; la solution générale dépend d'un 

 nombre limité de constantes, compris entre trois et sept. On ne peut éviter 

 parmi ces constantes trois constantes parasites provenant de la substitution 

 {x. r ; mx + n^ w v -h /^, ) : les autres sont des constantes essentielles, aux- 

 quelles s'adjoindra ensuite h. La longueur des calculs rend la discussion 

 complète assez difficile, mais on trouve aisément une solution particulière : 

 du pôle (o, 0,1) de la sphère unité, je fais la projection stéréographiqae 

 d'un faisceau homofocal de coniques situées dans Féquateur et ayant même 

 centre que la sphère; on obtient un réseau sphérique isotherme solution de 

 notre problème et dépendant d'un paramètre essentiel c, distance focale du 

 faisceau plan. Les surfaces correspondantes sont transcendantes, sauf une, 



