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Gu solutions de 



X'-'=A{X — e^){X-e,), Y"=z- A{Y — e^) {Y - e.) 



et je tiens pour assez vraisemblable que la solution générale du second cas 

 est constituée par Fexemple explicité. 



GÉOMÉTRIE. — La courbure de Vespace. Note de M. .1. Le Roux, 

 présentée par M. G. Kœnigs. 



Parmi les notions qui servent de base à la Théorie de la Relativité géné- 

 ralisée d'Einstein, il y en a une qui paraît à première vue très curieuse et 

 très intéressante. C'est celle de la courbure de l'espace, à laquelle se rat- 

 tache la question de savoir si l'univers est fini ou infini. 



Malheureusement cette notion repose sur une analyse inexacte et incom- 

 plète des faits. 



Dans la théorie des surfaces, la courbure totale est déterminée par la 

 forme analytique de l'élément linéaire. Il semble qu'en se donnant l'élé- 

 ment linéaire d'une multiplicité à plusieurs variables, on doit donc 

 s'attendre à trouver des invariants qui représenteront des propriétés intrin- 

 sèques de la multiplicité considérée, indépendantes des variables aux- 

 quelles on la rapporte. Pour reconnaître jusqu'à quel point cette générali- 

 sation est fondée, il faut analyser le sens de l'expression élément linéaire. 



Dans la théorie des surfaces, on entend par là la forme que prend le ds- 

 euclidien à trois variables : ds"^ = dx^ -f- dy- -h dz-^ quand on exprime les 

 trois coordonnées en fonction de deux paramètres u et v. L'expression con- 

 sidérée implique donc une comparaison entre deux formes de différentielles^ 

 à deux et à trois variables. De plus nous attachons à l'élément linéaire eucli- 

 dien à trois variables le sens concret, expérimental, d'une mesure effectuée 

 à l'aide d'une règle que l'on peut déplacer sans altération de longueur. 

 C'est l'invariant du groupe euclidien des déplacements. 



En résumé, nous ne pouvons arriver à la notion de courbure des surfaces 

 que par la considération simultanée de deux formes quadrati(jues et l'attri- 

 l)ution à l'une d'entre elles d'un sens physique déterminé. 



Si nous considérons une seule forme, comme dans la Théorie de la Rela- 

 tivité, nous pourrons encore calculer des invariants, (|ui auront une signifi- 

 cation analytique, mais nous n'aurons pas le droit de faire correspondre à 

 ces invariants une propriété de l'espace. Cette conclusion résulte nettement 



