SÉANCE DU 3 AVRIL 1922. 9*^^ 



des considérations suivantes dans lesquelles je me borne au cas de deux 

 variables. 



Dans un plan (P) j'imagine un cercle réel (C) 



X- -\- y- — K- =r o 



et un cercle imaginaire (C) 



^2.+ j2 4- Rî = o. 



Je construis un triangle rectiligne ABC intérieur au cercle (C). Je 

 mesure les éléments de ce triangle, côtés et angles, de trois manières diffé- 

 rentes : d'abord au sens euclidien, ensuite au sens cayleyen, en prenant 

 successivement comme conique fondamentale le cercle (C) puis le cercle(C'). 



Premier cas [euclidien]. — L'élément linéaire du plan est 



ds"' r= dx'^ -H dy^ ; 



les géodésiques sont les droites du plan ; la somme des angles du triangle ABC 

 est égale à deux droits. L'invariant de courbure de Gauss est nul. Les bgnes 

 droites peuvent s'étendre à tout le plan; dans ce cas, les longueurs croissent 



indéfiniment. 



Deuxième cas\xi\^%m^ cayleyenne, cercle fondamental (C)].- L'élément 



linéaire du plan est 



,, ^„ R-Hfl?^-+ dy'' ) — {JC dy — ydxf 

 {R'- — x' — y-y 



Les figures devront être limitées au disque intérieur au cercle fonda- 

 mental. Les géodésiques sont les droites du plan; la somme des angles du 

 même triangle ABC est inférieure à deux droits. L'invariant de courbure 

 est égal à — j^- La distance d'un point du disque à un point de la circon- 

 férence du cercle (C) est infinie. L'aire cayleyenne du disque est elle-même 

 infinie. Les relations métriques entre les éléments sont celles de la géométrie 

 de Lobatschewsky. 



Troisième cas [mesure cayleyenne, cercle fondamental (C')J. — L'élément 



linéaire du plan est 



j , o , f^" ( d-TC' -H dv' ) + {■'• dy — ydxY- 

 ds- ■=. W.' TTT, r~ — tt:; ~~ * 



Les figures peuvent s'étendre à tout le plan. Les géodésiques sont encore 

 les droites du plan; la somme des angles du triangle ABC est supérieure à 

 deux droits; l'invariant de courbure est égal à + —- La distance de deux 



