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points est toujours bornée. Si deux points P et Q d'une droite s'éloignent 

 indéfiniment en sens contraire (au sens euclidien), leur distance cayleyenne 

 tend vers ttR. Les relations métriques sont celles de la géométrie de 

 Riemann. L'aire totale du plan est limitée et égale à 2t:R-. 



Dans ces trois cas, ce sont les mêmes éléments physiques qui inter- 

 viennent : c'est le même plan, les mêmes géodésiques, les mêmes segments 

 de droites, les mêmes angles. Ce qui a changé c'est la métrique, définie par 

 le choix de la forme quadratique. L'invariant de Gauss fournit donc une 

 propriété de la forme quadratique de différentielles que nous avons arbi- 

 trairement choisie; il ne peut traduire aucune propriété intrinsèque ni du 

 plan, ni des figures que nous y avons tracées. 



Suivant le mode de mesure adopté, le plan sera à courbure nulle, néga- 

 tive ou positive, à volonté; les relations métriques seront celles de la géo- 

 métrie d'Euclide, de Lobatschewsky ou de Riemann; une portion limitée 

 du plan pourra avoir une aire infinie, ou bien, au contraire, le plan tout 

 entier aura une aire finie. 



Dans la discussion qui précède, j'ai interprété la signification des 

 variables x^ y de manière à obtenir toujours les mêmes géodésiques, 

 malgré le changement de forme de l'élément linéaire. 11 est également pos- 

 sible, par un changement d'interprétation très simple, défaire correspondre 

 au même plan et au même élément linéaire des géodésiques différentes. Par 

 exemple, dans le second cas, on peut prendre comme géodésiques les arcs 

 de cercles normaux au cercle fondamental, utilisés par Poincaré pour la 

 théorie des fonctions fuchsiennes. 



Ces résultats s'étendent immédiatement au cas d'un nombre quelconque 

 de variables. 



Ils entraînent les conséquences suivantes : 



i** A un espace donné, il ne correspond a prioii aucune forme quadra- 

 tique qui s'impose comme expression de l'élément linéaire; 



2° A un élément linéaire donné, il ne correspond aucune propriété essen- 

 tielle de l'espace pour lequel cette forme définit la métrique. Les invariants 

 dits de courbure définissent des propriétés de la forme et non de l'espace ; 



3° Il n'y a pas d'espaces euclidiens ou non euclidiens, ni même, à pro- 

 prement parler, de géométrie euclidienne ou non euclidienne : il y a seu- 

 lement des métriques qui sont euclidiennes et d'autres qui ne le sont pas; 



4° Le problème de savoir si l'univers est fini ou infini n'a pas de sens 

 au point de vue mathématique. Il est à volonté fini ou infini suivant la" 

 métrique choisie; 



