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mation des surfaces, même dans les cas les plus simples, fait soupçonner 

 toutes les difficultés d'une telle question. 



Il me semble qu'il est possible de concevoir un Univers infini dont la 

 structure ne donne lieu à aucune de ces deux objections; voici le principe 

 arithmétique simple qui permet démettre en évidence les propriétés essen- 

 tielles d'une belle structure ( ^ ). 



Considérons tous les entiers positifs ou négatifs qui, dans le système 

 décimal, s'écrivent avec les seuls chiffres o et i, ils forment une suite (a) 

 qui s'étend de — co à -h co : 



( ..., — III, — 110,' — 101, — 100, — II, — 10, 



(a) ') 



( — I, 10, II, 100, loi, 110, III, 1000, .... 



Il est clair que le nombre des entiers de la suite (a) ayant moins de n 

 chiffres est égal à 2" — i ; le plus petit des intervalles qui contient ces entiers 



(de moins de n chiffres) est égal à -(10"— i); la densité moyenne de ces 



entiers dans cet intervalle est donc - ^ et est par suite inférieure à ( 77 ) ; 



2 10"— I ^ \5/ 



cette densité tend très rapidement vers zéro lorsque n augmente indéfini- 

 ment. La densité moyenne des points qui représenteraient, sur un axe Oa?, 

 les nombres de la suite (a) est donc nulle, lorsque l'on considère l'axe Ox 

 tout entier. 



Néanmoins, chacun de ces points représentatifs est tel qu'il y a sur Oa?, 

 au moins d'un coté, des points qui en sont voisins ; d'une manière plus pré- 

 cise, il y a un point dont la distance au point donné est au plus égale à i, 

 au moins 3 dont la distance est au plus égale à 1 1 , au moins 7 dont la dis- 

 tance est au plus égale à 1 1 1, etc. On constate donc que si certains de ces 

 points sont, de l'un des deux cotés, contigus à un grand intervalle vide, ils 

 se rattachent du moins de l'autre côté à une région dont la structure est 

 sensiblement la même quelque soit le point choisi. Ceci peut encore être 

 précisé ; portons d'un point A correspondant, par exemple, au nombre 

 10 100 loi et désignons par B le point obtenu en ajoutant à l'abscisse de A 

 une puissance élevée de 10, par exemple 10''^ et par B' le point dont l'ab- 

 scisse est opposée à celle de B ; les points B et B' sont aussi éloignés que l'on 



(*) On lrou\'era dans une iNote intéressante de M. C. V. L. Ciiarliek [How an infi- 

 nité world may be built up {Arkivfor Matemalik, etc., t. 16)] des précisions numé- 

 riques et des évaluations de statistique sleliaire. Mais le savant directeur de l'Obser- 

 vatoire de Lund se place à un point de vue plus concret que le nôtre. 



